Matsubara 成分で解く

量子力学の様々な構成方法　第3部 第6章 §3.6.3　★★★ 閉じた経路を周期 $\beta\hbar$ の Fourier 級数に分けると、2次の作用は成分ごとに分かれ、$Z$ と虚時間の相関関数が無限積と無限和で厳密に出る

閉じた経路の Fourier 成分

周期 $\beta\hbar$ の経路は Fourier 級数

$$x(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_n\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau},\qquad \omega_n=\frac{2\pi n}{\beta\hbar},\qquad x_{-n}=x_n^*\tag{3.6.10}$$

に展開できる。$\omega_n$ を Matsubara 角振動数と呼ぶ。虚時間の周期から出る離散的な角振動数で、熱平衡の Green 関数を虚時間の関数として扱う方法を松原武生が導入した（Matsubara (1955), Prog. Theor. Phys. 14, 351）。$n=0$ の成分 $x_0=\frac1{\beta\hbar}\int_0^{\beta\hbar}x\,\mathrm{d}\tau$ は経路の重心で、$n\ne0$ の成分は重心のまわりの揺らぎである。（ここの $x_0$ は時間分割の最初の点でなく、Fourier の0番目の成分を指す。）

調和振動子 $V=\frac12m\omega^2x^2$ では、Parseval の等式 $\frac1{\beta\hbar}\int_0^{\beta\hbar}\lvert f\rvert ^2\mathrm{d}\tau=\sum_n\lvert f_n\rvert ^2$ により

$$\frac{S_{\mathrm E}}\hbar=\frac{m\beta}2\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\omega_n^2+\omega^2)\lvert x_n\rvert ^2 =\frac{m\beta\omega^2}2x_0^2+m\beta\sum_{n\ge1}(\omega_n^2+\omega^2)\lvert x_n\rvert ^2\tag{3.6.11}$$

となる。作用が成分ごとに分かれるので、経路積分は各成分の Gauss 積分の積になる。

積分の規格化と $Z$

経路の測度 $\mathcal Dx$ を成分の言葉で $\mathrm{d} x_0\prod_{n\ge1}\mathrm{d}\operatorname{Re} x_n\,\mathrm{d}\operatorname{Im} x_n$ に定数を掛けたものと書くとき、その定数は $\omega$ によらないので、自由粒子の値で決めればよい。長さ $L$ の領域の自由粒子では $Z=L/\lambda_T$（3.6.1節）で、重心の積分 $\int\mathrm{d} x_0=L$ がそのまま $L$ を出すので、揺らぎの積分に掛かる定数は「自由粒子で揺らぎの積分全体が $1/\lambda_T$ になる」ように決まる。この規格化で、調和振動子の $Z$ は

$$Z=\frac1{\lambda_T}\int\mathrm{d} x_0\,\mathrm{e}^{-\beta m\omega^2x_0^2/2}\;\prod_{n\ge1}\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2+\omega^2} =\frac1{\beta\hbar\omega}\prod_{n\ge1}\Bigl(1+\frac{(\beta\hbar\omega)^2}{(2\pi n)^2}\Bigr)^{-1}\tag{3.6.12}$$

となる（各 $n\ge1$ の複素成分の Gauss 積分は $\pi/(m\beta(\omega_n^2+\omega^2))$ で、自由粒子の値 $\pi/(m\beta\omega_n^2)$ との比が因子になる。重心の積分は $\sqrt{2\pi/(\beta m\omega^2)}/\lambda_T=1/(\beta\hbar\omega)$）。第1因子 $1/(\beta\hbar\omega)$ は古典の $Z$ で、量子の補正はすべて無限積に含まれる。$\sinh y=y\prod_{n\ge1}(1+y^2/(\pi n)^2)$ に $y=\beta\hbar\omega/2$ を入れると無限積は $y/\sinh y$ なので

$$Z=\frac1{\beta\hbar\omega}\cdot\frac{\beta\hbar\omega/2}{\sinh(\beta\hbar\omega/2)}=\frac1{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\tag{3.6.13}$$

を得る。第3部第3章の Mehler 核も、ビーズの積 (3.6.5) も経由せず、虚時間の経路積分だけで共通例題①の正答が出た。第4部第4章（第4部第4章）は高温展開 $\ln Z$ の収束半径が $\beta\hbar\omega=2\pi$ であることを示したが、その理由は式 (3.6.12) から読める。因子 $1+(\beta\hbar\omega)^2/(2\pi n)^2$ は $\beta\hbar\omega=\pm2\pi\mathrm{i} n$ で0になり、$\ln Z$ は $\beta\hbar\omega$ の複素平面の $\pm2\pi\mathrm{i}$ に特異点を持つ。最初の Matsubara 角振動数 $\omega_1=2\pi/(\beta\hbar)$ が $\omega$ に等しくなる温度が、展開の境目である。

虚時間の相関関数

同じ Gauss 積分から、虚時間の相関関数 $G(\tau)\coloneqq\langle x(\tau)x(0) \rangle =\frac1Z\oint\mathcal Dx\,x(\tau)x(0)\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar}$ も出る。式 (3.6.11) から各成分は独立な Gauss 変数で、$\langle \lvert x_n\rvert ^2 \rangle =1/(m\beta(\omega_n^2+\omega^2))$（$n\ne0$ は実部と虚部の分散の和、$n=0$ は実の変数の分散）なので

$$G(\tau)=\sum_n\langle \lvert x_n\rvert ^2 \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau}=\frac1{m\beta}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau}}{\omega_n^2+\omega^2}\tag{3.6.14}$$

である。この和を閉じた形にするには、$G$ が満たす微分方程式を使う。$(-\partial_\tau^2+\omega^2)$ を項ごとに当てると分母が消え、$\frac1{m\beta}\sum_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_n\tau}=\frac\hbar m\sum_k\delta(\tau-k\beta\hbar)$ が残る。したがって $G$ は周期 $\beta\hbar$ を持ち、$0<\tau<\beta\hbar$ で $G''=\omega^2G$、$\tau=0$ で傾きが $-\hbar/m$ だけ跳ぶ。$\tau\mapsto\beta\hbar-\tau$ について対称な解は $A\cosh(\omega(\tau-\beta\hbar/2))$ で、跳びの条件 $-2A\omega\sinh(\beta\hbar\omega/2)=-\hbar/m$ から

$$G(\tau)=\frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{\cosh\bigl(\omega(\tau-\beta\hbar/2)\bigr)}{\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\qquad(0\le\tau\le\beta\hbar)\tag{3.6.15}$$

を得る。$G(0)=\frac\hbar{2m\omega}\coth\frac{\beta\hbar\omega}2$ は第4部第4章の $\langle x^2 \rangle$ そのものである。$G(\beta\hbar-\tau)=G(\tau)$ という対称性は、周期境界条件とトレースの巡回性によるもので、第8部第4章（第8部第4章）は同じ式を KMS 条件から出している。