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橋：経路積分と統計力学の同値

2026年10月17日11分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第3部 第6章 虚時間と統計力学
目次
  1. 両向きの証明
  2. 各部の書き方と並べる
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第3部 第6章 §3.6.6　★★★ 分配関数と熱平衡の核について、基準から虚時間の経路積分へ、虚時間の経路積分から基準のハミルトニアンへの両向きを示し、各部の書き方と並べる

両向きの証明

同値性の地図の橋「経路積分 ↔ 統計力学」（第1部第1章）を、ここで両向きに述べる。

命題 3.6.3（虚時間の経路積分と熱平衡の同値）

H^=p^2/(2m)+V(x^)\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x) で、VV は下に有界とし、H^\hat H は自己共役とする。

  1. (i) （基準 → 経路積分）熱平衡の核 ⟨x∣e−βH^∣x′⟩\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle は、時間分割した虚時間の経路積分（式 (3.6.5) の端を固定したもの）の P→∞P\to\infty の極限で、Feynman–Kac の公式 (3.6.9) の右辺に等しい。Z<∞Z<\infty なら Z=Tr⁡e−βH^=∮Dx e−SE/ℏZ=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\oint\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar} である。
  2. (ii) （経路積分 → 基準）逆に、式 (3.6.9) の右辺で核 ρβ(x,x′)\rho_\beta(x,x') を定義すると、(a) ρβ(x,x′)=ρβ(x′,x)\rho_\beta(x,x')=\rho_\beta(x',x) は実で、(b) ∫dy ρβ1(x,y)ρβ2(y,x′)=ρβ1+β2(x,x′)\int\mathrm{d} y\,\rho_{\beta_1}(x,y)\rho_{\beta_2}(y,x')=\rho_{\beta_1+\beta_2}(x,x')、(c) β→0\beta\to0 で ρβ→δ(x−x′)\rho_\beta\to\delta(x-x') を満たす。この3つから、ρβ\rho_\beta を核とする積分作用素は e−βK^\mathrm{e}^{-\beta\hat K} の形に書け、K^\hat K は下に有界な自己共役作用素として一意に決まる。短い β\beta の展開から K^=H^\hat K=\hat H であり、実時間の発展は e−iK^t/ℏ\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Kt/\hbar} として取り戻される。
証明

(i) Trotter の積公式 (3.6.4) の各因子の間に位置の完全系を挿んだものが時間分割の積分で、熱核 (3.6.3) が正の確率密度なので、その極限は Brown 橋の上の期待値として書ける（3.6.2節）。トレースは対角要素の積分で、端の固定 x=x′x=x' を外して積分すると周期境界条件になる。

(ii) (a) Brown 橋は時間を逆にすると xx と x′x' を入れ替えた Brown 橋になり、ポテンシャルの積分は時間を逆にしても変わらないので対称である。(b) 期待値の中の汎関数は区間の和に分かれる（∫0β1+β2=∫0β1+∫β1β1+β2\int_0^{\beta_1+\beta_2}=\int_0^{\beta_1}+\int_{\beta_1}^{\beta_1+\beta_2} を ℏ\hbar 倍した区間）ので、途中の時刻での位置 yy で条件をつけると、Brown 運動の Markov 性から積の形に分かれて合成則になる。(c) β→0\beta\to0 では汎関数が1に近づき、ρ0(x,x′;β)→δ(x−x′)\rho_0(x,x';\beta)\to\delta(x-x') である。(a) により積分作用素 T^β\hat T_\beta は自己共役で、(b) により半群をなし、(c) により β→0\beta\to0 で恒等作用素に強収束する。自己共役な作用素の強連続な半群は、スペクトル定理により下に有界な自己共役作用素 K^\hat K を使って T^β=e−βK^\hat T_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat K} と一意に書ける。生成子は K^ψ=−lim⁡β→0(T^βψ−ψ)/β\hat K\psi=-\lim_{\beta\to0}(\hat T_\beta\psi-\psi)/\beta で、第3部第5章の短時間展開を実の熱核で行うと（同章の例題の計算で i\mathrm{i} が落ちた形）K^ψ=−ℏ22mψ′′+Vψ\hat K\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi となる。最後に、自己共役な K^\hat K からスペクトル分解で e−iK^t/ℏ\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Kt/\hbar} を作れば実時間の発展になる。

逆向きの議論の要は (b) の合成則で、これは実時間の経路積分の合成則（第3部第1章）の虚時間版である。実時間では合成則とユニタリ性からハミルトニアンを取り戻すのに Stone の定理を使ったが（第3部第5章）、虚時間では自己共役な半群のスペクトル定理が同じ役をする。場の理論では、(a) の対称性を「反射の正値性」に強めた条件のもとで、虚時間の相関関数から実時間の理論を組み立てる Osterwalder–Schrader の再構成がこの議論の一般化にあたる。

分配関数 Z(β)Z(\beta) だけからは、固有状態は分からないがスペクトルは分かる。Z(β)=∑ne−βEnZ(\beta)=\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n} は固有値の分布の Laplace 変換で、Laplace 変換は一意に逆変換できるからである。

例題 3.6.6　経路積分の ZZ と核から基準の量を読む ★★★

オリジナル調和振動子について、経路積分で出した式 (3.6.13) と例題 3.6.1 の熱平衡の核を出発点にする。

  1. (1) q=e−βℏωq=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega} の級数に展開して、固有値 EnE_n と縮退度を読め。
  2. (2) E0=−lim⁡β→∞β−1ln⁡ZE_0=-\lim_{\beta\to\infty}\beta^{-1}\ln Z を確かめよ。
  3. (3) β→∞\beta\to\infty で ⟨x∣e−βH^∣x⟩eβE0→∣ψ0(x)∣2\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x \rangle \mathrm{e}^{\beta E_0}\to\lvert \psi_0(x)\rvert ^2 となることを示し、ψ0\psi_0 を求めよ。
解答

(1) 12sinh⁡(βℏω/2)=e−βℏω/21−e−βℏω=q1/2∑n≥0qn=∑n≥0e−βℏω(n+1/2)\frac1{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}=\frac{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}}=q^{1/2}\sum_{n\ge0}q^n=\sum_{n\ge0}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega(n+1/2)} である。各 e−βE\mathrm{e}^{-\beta E} の係数が縮退度なので、固有値は En=ℏω(n+12)E_n=\hbar\omega(n+\frac12) で、どれも縮退していない（係数1）。第2部第4章（第2部第4章）が代数だけで出したスペクトルが、経路積分の ZZ から読める。

(2) ln⁡Z=−βℏω/2−ln⁡(1−e−βℏω)\ln Z=-\beta\hbar\omega/2-\ln(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}) で、第2項は β→∞\beta\to\infty で0に近づくので −β−1ln⁡Z→ℏω/2=E0-\beta^{-1}\ln Z\to\hbar\omega/2=E_0 である。

(3) 一般に ⟨x∣e−βH^∣x⟩=∑ne−βEn∣ψn(x)∣2\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x \rangle =\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}\lvert \psi_n(x)\rvert ^2 なので、eβE0\mathrm{e}^{\beta E_0} を掛けると ∣ψ0∣2+∑n≥1e−β(En−E0)∣ψn∣2→∣ψ0∣2\lvert \psi_0\rvert ^2+\sum_{n\ge1}\mathrm{e}^{-\beta(E_n-E_0)}\lvert \psi_n\rvert ^2\to\lvert \psi_0\rvert ^2 である（E0E_0 が縮退していないとき）。例題 3.6.1 の対角要素は mω/(2πℏsinh⁡s)exp⁡(−mωℏtanh⁡s2x2)\sqrt{m\omega/(2\pi\hbar\sinh s)}\exp(-\frac{m\omega}\hbar\tanh\frac s2x^2)（s=βℏωs=\beta\hbar\omega）で、s→∞s\to\infty では sinh⁡s≈es/2\sinh s\approx\mathrm{e}^s/2、tanh⁡(s/2)→1\tanh(s/2)\to1 なのでes/2⋅mω/(πℏ) e−s/2e−mωx2/ℏ=mω/(πℏ) e−mωx2/ℏ\mathrm{e}^{s/2}\cdot\sqrt{m\omega/(\pi\hbar)}\,\mathrm{e}^{-s/2}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/\hbar}=\sqrt{m\omega/(\pi\hbar)}\,\mathrm{e}^{-m\omega x^2/\hbar} となる。したがって ψ0(x)=(mω/(πℏ))1/4e−mωx2/(2ℏ)\psi_0(x)=(m\omega/(\pi\hbar))^{1/4}\mathrm{e}^{-m\omega x^2/(2\hbar)}（位相を除く）である。

各部の書き方と並べる

この章で出した量を、基準とほかの部の言葉で並べると次のようになる。

構成熱平衡の書き方
基準（スペクトル）・学部の統計力学Z=∑ne−βEn=Tr⁡e−βH^Z=\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}
密度行列（第4部第4章）ρ^β=e−βH^/Z\hat\rho_\beta=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z、⟨x∣e−βH^∣x′⟩=K(x,−iβℏ;x′,0)\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle =K(x,-\mathrm{i}\beta\hbar;x',0)
虚時間の経路積分（この章 3.6.2節）Z=∮Dx e−SE[x]/ℏZ=\oint\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[x]/\hbar}
位相空間・Wigner–Kirkwood（第5部第1章）Z=∫dx dp2πℏe−βHw(x,p,β)Z=\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-\beta H}w(x,p,\beta)
代数・KMS 条件（第8部第4章）G(τ)=G(βℏ−τ)G(\tau)=G(\beta\hbar-\tau)（周期境界条件）
確率過程・Feynman–Kac（第7部第6章）⟨x∣e−βH^∣x′⟩=ρ0 Ex′→x[e−1ℏ∫Vdτ]\langle x | \mathrm{e}^{-\beta\hat H} | x' \rangle =\rho_0\,\mathbb E_{x'\to x}\bigl[\mathrm{e}^{-\frac1\hbar\int V\mathrm{d}\tau}\bigr]
古典の統計力学（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第3章）Z→∫dx dp2πℏe−βHZ\to\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\mathrm{e}^{-\beta H}（ℏ→0\hbar\to0）

学部の統計力学の授業では、ZZ は表の1行目の左の形でエネルギー準位の和として定義され、古典の ZZ は表の最後の行の右辺に 1/h1/h を手で入れて書かれる。この章の経路積分の形では、1/(2πℏ)=1/h1/(2\pi\hbar)=1/h は重心の積分と揺らぎの規格化（1/λT1/\lambda_T）から出てくるもので、手で入れる必要がない。

位相空間の補正因子 ww と、この章のぼかし VσV_\sigma は、ℏ2\hbar^2 の次数で同じ ZZ を与える。違いは補正をどこに置くかで、位相空間では運動量 pp と位置 xx の両方の関数 ww に、経路積分では位置だけの関数 VσV_\sigma に置く。経路積分は運動量の積分を先に済ませて揺らぎの Gauss 測度に変えているので、補正が位置だけに集まる。KMS の行は、トレースの巡回性 Tr⁡(e−βH^A^B^)=Tr⁡(B^e−βH^A^)\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat A\hat B)=\operatorname{Tr}(\hat B\mathrm{e}^{-\beta\hat H}\hat A) を経路の周期性として書いたもので、トレースが使えない無限系では KMS 条件の形の方が定義として残る。Bose 粒子の多体系では、トレースを対称化すると入れ替えの輪が加わり、Matsubara 角振動数の和が Bose 分布になる（第6部第5章・第6部第6章）。

要点

虚時間の経路積分は、基準・密度行列・位相空間・代数の4つの構成で別々に書かれる熱平衡を1本の式 Z=∮Dx e−SE/ℏZ=\oint\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}/\hbar} にまとめる。基準から見るとトレースの経路の書き方で、密度行列から見ると e−βH^\mathrm{e}^{-\beta\hat H} の核で、位相空間から見ると運動量を積分し終えた形で、代数から見ると KMS の帯の周期を経路の周期に移したものである。

木下の勉強ステータス

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