Schrödinger 方程式を実部と虚部に分ける

量子力学の様々な構成方法　第7部 第1章 §7.1.2　★★★ 同値性の橋の前半。連続の式と、量子ポテンシャルつきの Hamilton–Jacobi 方程式を導く

代入して整理する

Schrödinger 方程式

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V(\bm{r})\psi\tag{7.1.5}$$

に極形式 (7.1.1) を入れる。書きやすいように $R=\sqrt\rho$ と置き、$\psi=R\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ とする。時間微分は

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\Bigl(\mathrm{i}\hbar\frac{\partial R}{\partial t}-R\frac{\partial S}{\partial t}\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}.$$

空間の微分は、まず $\nabla\psi=\bigl(\nabla R+\tfrac{\mathrm{i}}{\hbar}R\nabla S\bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$、もう1回発散を取って

$$\nabla^2\psi=\Bigl(\nabla^2R+\frac{2\mathrm{i}}{\hbar}\nabla R\cdot\nabla S+\frac{\mathrm{i}}{\hbar}R\nabla^2S-\frac{1}{\hbar^2}R\lvert \nabla S\rvert ^2\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}.$$

両辺から共通の $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を除き、実部と虚部に分ける。$R$ と $S$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ等しくなければならない。実部からは

$$-R\frac{\partial S}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2R+\frac{1}{2m}R\lvert \nabla S\rvert ^2+VR,$$

虚部（$\hbar$ で割ったもの）からは

$$\frac{\partial R}{\partial t}=-\frac{1}{2m}\bigl(2\nabla R\cdot\nabla S+R\nabla^2S\bigr)$$

が出る。実部の式を $-R$ で割り、虚部の式に $2R$ を掛けて $\rho=R^2$ に直すと、次の2本になる。

証明

上の計算で、Schrödinger 方程式 $\times\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} S/\hbar}$ は

$$-R\Bigl(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\lvert \nabla S\rvert ^2}{2m}+V+Q\Bigr)+\mathrm{i}\,\frac{\hbar}{2R}\Bigl(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\frac{\rho\nabla S}{m}\Bigr)=0$$

と書ける（検算で一般の $R,S,V$ について確かめた）。$R>0$ なので、左辺が $0$ であることと2つの括弧が両方 $0$ であることは同じである。

(7.1.6) の中の $\rho\nabla S/m$ は (7.1.3) の $\bm{j}$ なので、連続の式は $\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{j}=0$ と書ける。これは確率の保存を表し、全空間で積分すれば $\int\rho\,\mathrm{d}^3r$ が時間によらないことが出る。量子ポテンシャルを含むのは2本目だけである。

量子ポテンシャルの形

(7.1.7) の $Q$ を除くと、古典力学の Hamilton–Jacobi 方程式 $\partial_tS+\lvert \nabla S\rvert ^2/(2m)+V=0$ そのものになる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章。そちらでは同じ極形式を $\psi=A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ と書いて同じ2本を出している）。$Q$ は $\hbar^2$ に比例し、密度 $\rho$ の形だけで決まり、位相 $S$ にも外のポテンシャル $V$ にもよらない。$\rho$ を直接使って書くと

$$Q=-\frac{\hbar^2}{4m}\Bigl[\frac{\nabla^2\rho}{\rho}-\frac{\lvert \nabla\rho\rvert ^2}{2\rho^2}\Bigr]\tag{7.1.8}$$

である（$\nabla^2\sqrt\rho=\nabla\cdot(\nabla\rho/(2\sqrt\rho))$ を展開すれば出る）。この形から、$Q$ について次の3つが読み取れる。

1つ目に、$\rho$ を定数倍しても $Q$ は変わらない。量子ポテンシャルは密度の大きさでなく、密度の曲がり方だけを見ている。古典の流体の圧力が密度の大きさに比例するのと違う点である。2つ目に、密度が遠くまで薄く広がっていても、形が急に変わる所では $Q$ が大きくなる。この性質は第7部第4章の Bohm の軌道で非局所性の話につながる。3つ目に、$\rho\to0$ になる節の近くでは $\sqrt\rho$ で割るので $Q$ が発散しうる。第5節で調和振動子の第1励起状態を例にこれを見る。