量子 Euler 方程式と量子圧力

量子力学の様々な構成方法　第7部 第1章 §7.1.3　★★★ 量子 HJ 方程式の勾配を取って流体の運動方程式にし、量子ポテンシャルを応力テンソルとして読む

Euler 方程式

量子 HJ 方程式 (7.1.7) の勾配を取り、$m$ で割る。$\nabla S=m\bm{v}$ と、渦なしの場で成り立つ恒等式$\nabla(\lvert \bm{v}\rvert ^2/2)=(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}+\bm{v}\times(\nabla\times\bm{v})=(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}$ を使うと

$$m\Bigl(\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\Bigr)=-\nabla\bigl(V+Q\bigr)\tag{7.1.9}$$

となる。左辺は流体の1つの部分について追いかけた加速度（Lagrange 微分）に質量を掛けたもので、右辺は外の力 $-\nabla V$ と量子の力 $-\nabla Q$ の和である。これを量子 Euler 方程式と呼ぶ。連続の式 (7.1.6) と合わせた $(\rho,\bm{v})$ の方程式系を、この章では Madelung の流体方程式と呼ぶ。

古典の完全流体の Euler 方程式は $m(\partial_t\bm{v}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v})=-\nabla V-\nabla P_{\mathrm{cl}}/n$（$n$ は数密度、$P_{\mathrm{cl}}$ は圧力）の形をしている。量子ポテンシャルの力 $-\nabla Q$ も、密度で割った応力の発散として書けるかを次に確かめる。

量子圧力は応力テンソル

証明

$\ln\rho$ の微分を $\ell_i=\partial_i\ln\rho=\partial_i\rho/\rho$ と書く。$\partial_i\partial_j\ln\rho=\partial_j\ell_i$ なので

$$\partial_jP_{ij}=-\frac{\hbar^2}{4m}\bigl(\partial_j\rho\,\partial_j\ell_i+\rho\,\partial_j\partial_j\ell_i\bigr)=-\frac{\hbar^2}{4m}\rho\bigl(\ell_j\partial_i\ell_j+\partial_i\partial_j\ell_j\bigr).$$

ここで $\partial_j\ell_i=\partial_i\ell_j$（どちらも $\partial_i\partial_j\ln\rho$）を使った。一方 (7.1.8) は$\nabla^2\rho/\rho=\partial_j\ell_j+\ell_j\ell_j$、$\lvert \nabla\rho\rvert ^2/\rho^2=\ell_j\ell_j$ より$Q=-\frac{\hbar^2}{4m}\bigl(\partial_j\ell_j+\tfrac12\ell_j\ell_j\bigr)$ と書けるので、$\rho\,\partial_iQ=-\frac{\hbar^2}{4m}\rho\bigl(\partial_i\partial_j\ell_j+\ell_j\partial_i\ell_j\bigr)$ となり、上と一致する。

この命題を使うと、量子 Euler 方程式に $\rho$ を掛けたものは

$$\frac{\partial (m\rho v_i)}{\partial t}+\partial_j\bigl(m\rho v_iv_j+P_{ij}\bigr)=-\rho\,\partial_iV\tag{7.1.11}$$

と書ける（左辺の $\partial_t(m\rho v_i)$ と $\partial_j(m\rho v_iv_j)$ を展開し、連続の式で $\partial_t\rho$ を消せば (7.1.9) の $\rho$ 倍に戻る）。これは運動量密度 $m\rho\bm{v}$ の保存則で、運動量の流れが「流れに乗って運ばれる分 $m\rho v_iv_j$」と「量子応力 $P_{ij}$」の和になっている。全空間で積分すると、表面の項が消えて $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\int m\rho\bm{v}\,\mathrm{d}^3r=-\int\rho\nabla V\,\mathrm{d}^3r$ が残る。量子の力 $-\nabla Q$ は、密度で重みをつけて平均すると $0$ になる。これは Ehrenfest の定理 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat{\bm{p}} \rangle =-\langle \nabla V \rangle$ の流体の形で、第6節で基準の言葉と並べる。

エネルギーと Fisher 情報

運動エネルギーの期待値を極形式で書くと、$\lvert \nabla\psi\rvert ^2=\lvert \nabla R\rvert ^2+R^2\lvert \nabla S\rvert ^2/\hbar^2$ より

$$\langle \frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m} \rangle =\int\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \nabla\psi\rvert ^2\mathrm{d}^3r=\int\rho\,\frac{m\lvert \bm{v}\rvert ^2}{2}\,\mathrm{d}^3r+\int\rho\,Q\,\mathrm{d}^3r\tag{7.1.12}$$

となる。最後の項は、$\int\rho Q=-\frac{\hbar^2}{2m}\int\sqrt\rho\,\nabla^2\sqrt\rho=\frac{\hbar^2}{2m}\int\lvert \nabla\sqrt\rho\rvert ^2$（部分積分。遠方で $\rho\to0$）を使って書き直した。さらに $\lvert \nabla\sqrt\rho\rvert ^2=\lvert \nabla\rho\rvert ^2/(4\rho)$ より

$$\int\rho\,Q\,\mathrm{d}^3r=\frac{\hbar^2}{8m}\,J[\rho],\qquad J[\rho]\coloneqq\int\frac{\lvert \nabla\rho\rvert ^2}{\rho}\,\mathrm{d}^3r\tag{7.1.13}$$

となる。$J[\rho]$ は、分布 $\rho(\bm{r}-\bm{a})$ を平行移動の量 $\bm{a}$ で微分したときの Fisher 情報（位置の Fisher 情報）である（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第1部第7章）。運動エネルギーは、流れの運動エネルギーと、密度の形が尖っているほど大きくなる「形のエネルギー」の和に分かれ、後者が位置の Fisher 情報に比例する。