この章のまとめ

(1) 局在準位の占有 $\hat n_{\mathrm d}$ が $\hat H$ と可換である（$\hat H$ のどの項も $\hat n_{\mathrm d}$ の関数か、$\hat n_{\mathrm d}$ と可換なフォノンの演算子である）。状態空間 $\mathbb{C}^2\otimes\mathcal F$ は $\hat n_{\mathrm d}=0$ と $\hat n_{\mathrm d}=1$ の2つの部分に分かれ、それぞれの中ではフォノンの Fock 空間の上の問題になる。一方 $\left[\hat a^\dagger\hat a,\,\hat H\right]=\hbar\omega_0\eta\,\hat n_{\mathrm d}\left[\hat a^\dagger\hat a,\,\hat a+\hat a^\dagger\right]=\hbar\omega_0\eta\,\hat n_{\mathrm d}(\hat a^\dagger-\hat a)$ は $\hat n_{\mathrm d}=1$ の部分で0でないので、フォノンの数は保存しない。第2章の粒子数ごとの分解は、ここでは電子の数について成り立ち、フォノンの数については成り立たない。

(2) $S_{\mathrm{HR}}=\eta^2=1.5$、$E_{\mathrm p}=1.5\hbar\omega_0$ である。(6.7.3) から $P_0=\mathrm{e}^{-1.5}=0.2231$、$P_1=0.3347$、$P_2=0.2510$、$P_3=0.1255$ で、1個放出する線が最も強い。重心は $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}+S_{\mathrm{HR}}\hbar\omega_0=\varepsilon _{\mathrm d}$ で、結合の強さによらない。

(3) (6.7.17) で $m\omega_0x_0^2/(2\hbar)=\eta^2=1.5$ なので、重なりは $\mathrm{e}^{-0.75}$、その2乗は $\mathrm{e}^{-1.5}=0.2231$ で (2) の $P_0$ に一致する。底のずれは $x_0=-2\eta\sqrt{\hbar/(2m\omega_0)}=-2.449\sqrt{\hbar/(2m\omega_0)}$ で、零点の揺らぎの幅 $\sqrt{\hbar/(2m\omega_0)}$ の約2.4倍である。ずれが零点の幅を超えるので、零フォノン線は弱くなる。

(4) 始めの状態は $| 1_{\mathrm d} \rangle \otimes| -\eta \rangle$ でエネルギーは $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}$、終わりの状態は $| 0_{\mathrm d} \rangle \otimes| n \rangle$ でエネルギーは $n\hbar\omega_0$ である。放出される光子のエネルギーは $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}-n\hbar\omega_0$ で、重みは $\lvert \langle n | -\eta \rangle \rvert ^2=\mathrm{e}^{-S_{\mathrm{HR}}}S_{\mathrm{HR}}^{\,n}/n!$、吸収と同じ Poisson 分布になる。吸収の線は零フォノン線 $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}$ から高い側へ、放出の線は同じ零フォノン線から低い側へ並び、2つのスペクトルは零フォノン線について鏡に映した形である。放出の重心は $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}-S_{\mathrm{HR}}\hbar\omega_0=\varepsilon _{\mathrm d}-2E_{\mathrm p}$ で、吸収の重心 $\varepsilon _{\mathrm d}$ との差（Stokes のずれ）は $2E_{\mathrm p}=3\hbar\omega_0$ である。吸収では格子がひずむ前に、放出では格子がひずんだあとに電子が遷移するので、どちらの向きでもひずみのエネルギー $E_{\mathrm p}$ の分だけ光子のエネルギーが少なくなる。各線は 6.7.2 節の崩壊率 $\Gamma$ で幅を持ち、Markov の極限では半値全幅 $\Gamma$ の Lorentz 形である。光子を部分トレースで捨てると、電子の占有は第4部第5章の $\hat L=\sqrt\Gamma\hat\sigma_-$ の緩和で $T_1=1/\Gamma$ で減る。ただし「放出の前に格子が $| -\eta \rangle$ まで緩和する」ことは、1つのモードの模型の中では起こらない（(6.7.4) のとおり振動が続く）。振動のモードが別の熱浴に結合し、その緩和が $\Gamma$ より速いという、模型の外の仮定である。

(5) Huang–Rhys 因子の和は $S=\eta_1^2+\eta_2^2=0.36+0.2803=0.6403$、ポーラロンのずれは $E_{\mathrm p}=\sum_k\eta_k^2\hbar\omega_k=(0.36+0.2803\times1.7)\hbar\omega_0=0.8365\hbar\omega_0$、零フォノン線の重みは $\mathrm{e}^{-S}=0.5271$ である。2つのモードは独立なので、状態は各モードのコヒーレント状態のテンソル積で（Fock 空間の指数法則）、重みは2つの Poisson 分布の積になり、線は $\varepsilon _{\mathrm d}-E_{\mathrm p}+n_1\hbar\omega_1+n_2\hbar\omega_2$ に並ぶ。2つのモードを打ち切った Fock 空間（$25^2$ 次元）で (6.7.1) の多モード版を対角化し、基底のエネルギーのずれと零フォノン線の重みがこの値に一致することを確かめた（verify_ch6-07.py）。モードが連続に分布すると、$n_k\ge1$ の線は振動数の分布に沿って連なり、零フォノン線の横に連続な「フォノンの側帯」ができる。零フォノン線は1本の鋭い線として残り、その重みは $\mathrm{e}^{-\sum_k\eta_k^2}$ である。重心は (2) と同じ理由でモードの数によらず $\varepsilon _{\mathrm d}$ である。