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連続体への放出：自然放出を1励起の部分空間で解く

2026年10月17日9分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第6部 第7章 得意な問題と限界：粒子数が変わる現象
目次
  1. 原子と多数のモード
  2. Markov の極限と崩壊率
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第6部 第7章 §6.7.2　★★★ 光子の数が変わっても、励起の総数が保存すれば問題は1励起の部分空間に閉じ、励起状態の振幅が指数関数で減衰する（共通例題②の緩和の出どころ）

原子と多数のモード

6.7.1 節の模型ではモードが1つで、放出したフォノンは周期的に戻ってきた。モードが連続的に分布すると、放出された量子は戻らず、励起は不可逆に失われる。その最も簡単な例が自然放出である。2準位の原子（基底 ∣g⟩| g \rangle・励起 ∣e⟩| e \rangle、遷移の角振動数 ωe\omega_{\mathrm e}）が電磁場の多数のモード a^k\hat a_k（角振動数 ωk\omega_k）と結合しているとし、回転波近似をしたハミルトニアン

H^=ℏωeσ^+σ^−+∑kℏωka^k†a^k+∑kℏκk(σ^+a^k+a^k†σ^−)(6.7.5)\hat H=\hbar\omega_{\mathrm e}\hat\sigma_+\hat\sigma_-+\sum_k\hbar\omega_k\hat a_k^\dagger\hat a_k+\sum_k\hbar\kappa_k\bigl(\hat\sigma_+\hat a_k+\hat a_k^\dagger\hat\sigma_-\bigr)\tag{6.7.5}

を考える。σ^−=∣g⟩⟨e∣\hat\sigma_-=| g \rangle \langle e |、σ^+=σ^−†\hat\sigma_+=\hat\sigma_-^\dagger、κk\kappa_k は実数の結合の強さ（角振動数の単位）である。第3項は「原子が励起を失って光子を1個作る」過程とその逆を表し、光子の数を変える。回転波近似で落としたのは σ^+a^k†\hat\sigma_+\hat a_k^\dagger と a^kσ^−\hat a_k\hat\sigma_-（励起が2つ同時に増える・減る項）で、これらは ωe+ωk\omega_{\mathrm e}+\omega_k の速さで回るので、結合が弱ければ時間平均で消える。

(6.7.5) は励起の総数 N^exc≔σ^+σ^−+∑ka^k†a^k\hat N_{\mathrm{exc}}\coloneqq\hat\sigma_+\hat\sigma_-+\sum_k\hat a_k^\dagger\hat a_k と可換である。σ^+a^k\hat\sigma_+\hat a_k は光子を1個消して原子を励起するので N^exc\hat N_{\mathrm{exc}} を変えないからである。したがって初めに ∣e⟩⊗∣0⟩| e \rangle \otimes| 0 \rangle（励起1個）から出発すれば、状態はいつまでも N^exc=1\hat N_{\mathrm{exc}}=1 の部分空間

∣ψ(t)⟩=ce(t)∣e,0⟩+∑kck(t)∣g,1k⟩| \psi(t) \rangle =c_{\mathrm e}(t)| e,0 \rangle +\sum_kc_k(t)| g,1_k \rangle

にとどまる。これは「原子が励起している状態1つ」と「光子が1個どこかのモードにいる状態」を並べた空間で、Fock 空間の大部分を使わずに済む。Schrödinger 方程式は

ic˙e=ωece+∑kκkck,ic˙k=ωkck+κkce(6.7.6)\mathrm{i}\dot c_{\mathrm e}=\omega_{\mathrm e}c_{\mathrm e}+\sum_k\kappa_kc_k,\qquad\mathrm{i}\dot c_k=\omega_kc_k+\kappa_kc_{\mathrm e}\tag{6.7.6}

の連立1次方程式になる。

Markov の極限と崩壊率

2つ目の式を ck(0)=0c_k(0)=0 で解いて1つ目に入れると、c~e≔eiωetce\tilde c_{\mathrm e}\coloneqq\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm e}t}c_{\mathrm e} について

c~˙e(t)=−∫0tds K(t−s) c~e(s),K(τ)≔∑kκk2ei(ωe−ωk)τ\dot{\tilde c}_{\mathrm e}(t)=-\int_0^t\mathrm{d} s\,K(t-s)\,\tilde c_{\mathrm e}(s),\qquad K(\tau)\coloneqq\sum_k\kappa_k^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_{\mathrm e}-\omega_k)\tau}

になる。記憶の核 K(τ)K(\tau) は、モードが広い帯域 WW にわたって滑らかに分布していれば、τ≫1/W\tau\gg1/W でほぼ0になる。そこで c~e(s)≈c~e(t)\tilde c_{\mathrm e}(s)\approx\tilde c_{\mathrm e}(t) として積分の上限を無限へ延ばす（Markov の近似）と、∫0∞K(τ)dτ\int_0^\infty K(\tau)\mathrm{d}\tau の実部はπ∑kκk2δ(ωk−ωe)\pi\sum_k\kappa_k^2\delta(\omega_k-\omega_{\mathrm e}) で

∣ce(t)∣2=e−Γt,Γ=2π∑kκk2 δ(ωk−ωe)(6.7.7)\lvert c_{\mathrm e}(t)\rvert ^2=\mathrm{e}^{-\Gamma t},\qquad\Gamma=2\pi\sum_k\kappa_k^2\,\delta(\omega_k-\omega_{\mathrm e})\tag{6.7.7}

を得る。虚部は準位のずれ（Lamb のずれの原型）で、ここでは帯域の中心に ωe\omega_{\mathrm e} を置いて0にしている。(6.7.7) は Fermi の黄金律と同じ形で、学部の授業で「遷移の確率 ×\times 終状態の密度」として出すものである。Weisskopf と Wigner は振幅の方程式 (6.7.6) をこの形で解き、自然放出の線幅を導いた（V. Weisskopf and E. Wigner (1930), Z. Phys. 63, 54）。実際の原子での κk\kappa_k の値と、Γ\Gamma が Einstein の A 係数に一致することは光の巻で導いている（光学と量子エレクトロニクス 第34章）。

放出された光子の状態も同じ近似で出る。t→∞t\to\infty で ck→κke−iωkt/(ωk−ωe+iΓ/2)c_k\to\kappa_k\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}/(\omega_k-\omega_{\mathrm e}+\mathrm{i}\Gamma/2) となり、光子の周波数の分布は ∣ck∣2=κk2/((ωk−ωe)2+Γ2/4)\lvert c_k\rvert ^2=\kappa_k^2/((\omega_k-\omega_{\mathrm e})^2+\Gamma^2/4) の Lorentz 形で、半値全幅は Γ\Gamma である。原子が失った励起は、1個の光子の波束として場に移っている。

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの κk/ωe→0\kappa_k/\omega_{\mathrm e}\to0（結合が遷移の角振動数に比べて弱い。回転波近似）　｜　証明 条件付き（落とした項は ωe+ωk\omega_{\mathrm e}+\omega_k で回り、弱結合の van Hove 極限で時間平均が消える。前提は第4部第5章の札と同じ）　｜　行き先 近似の数理 第14章

近似の裏付け

型 B（極限）　｜　小さいもの Γ/W→0\Gamma/W\to0（崩壊率が、結合のスペクトル密度の変化の幅に比べて小さい。Markov の近似）　｜　証明 条件付き（∑kκk2δ(ωk−ω)\sum_k\kappa_k^2\delta(\omega_k-\omega) が ωe\omega_{\mathrm e} のまわりで滑らか。t≲1/Wt\lesssim1/W では減衰が2次で始まり、離散モードでは再生時間より前に限る）　｜　行き先 近似の数理 第14章

図

図 6.7.2　1励起の部分空間での自然放出。等間隔 δ\delta の4001個のモード（帯域 ±20\pm20）と一定の結合 κ\kappa で (6.7.6) を厳密に解いた ∣ce∣2\lvert c_{\mathrm e}\rvert ^2（点線）と、(6.7.7) の Γ=2πκ2/δ=0.2513\Gamma=2\pi\kappa^2/\delta=0.2513 の指数関数（実線）。t≥2t\ge2 での差は 4×10−34\times10^{-3} 以下である。

例題 6.7.2　離散モードで確かめる崩壊と再生 ★★

オリジナル(6.7.5) で、モードを ωk=ωe+kδ\omega_k=\omega_{\mathrm e}+k\delta（k=−2000,…,2000k=-2000,\dots,2000）、結合を一定の κk=κ\kappa_k=\kappa とする。κ=0.02\kappa=0.02、δ=0.01\delta=0.01（同じ単位）とする。

  1. (1) (6.7.7) の Γ\Gamma を求め、t=10t=10 での ∣ce∣2\lvert c_{\mathrm e}\rvert ^2 の予言値を出せ。
  2. (2) ごく短い時間では ∣ce∣2≈1−κ2Mt2\lvert c_{\mathrm e}\rvert ^2\approx1-\kappa^2Mt^2（MM はモードの数）となり、指数関数にならないことを示せ。
  3. (3) 有限個のモードでは時刻 2π/δ2\pi/\delta の近くで原子に励起が戻ってくる理由を述べよ。
解答

(1) 等間隔のモードでは ∑kδ(ωk−ωe)\sum_k\delta(\omega_k-\omega_{\mathrm e}) を単位の角振動数あたりのモードの数 1/δ1/\delta に置き換えて、Γ=2πκ2/δ=2π×4×10−4/0.01=0.2513\Gamma=2\pi\kappa^2/\delta=2\pi\times4\times10^{-4}/0.01=0.2513 である。t=10t=10 では e−2.513=0.081\mathrm{e}^{-2.513}=0.081 になる。1励起の部分空間の 4002×40024002\times4002 の行列を対角化して時間発展させた厳密な値も 0.0810.081 である（図 6.7.2）。

(2) ∣ψ(t)⟩=e−iH^t/ℏ∣e,0⟩| \psi(t) \rangle =\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| e,0 \rangle を tt の2次まで展開すると、∣ce∣2=1−(⟨H^2⟩−⟨H^⟩2)t2/ℏ2+O(t3)\lvert c_{\mathrm e}\rvert ^2=1-(\langle \hat H^2 \rangle -\langle \hat H \rangle ^2)t^2/\hbar^2+\mathcal{O}(t^3) である。H^∣e,0⟩=ℏωe∣e,0⟩+ℏκ∑k∣g,1k⟩\hat H| e,0 \rangle =\hbar\omega_{\mathrm e}| e,0 \rangle +\hbar\kappa\sum_k| g,1_k \rangle なので、分散は ℏ2κ2M\hbar^2\kappa^2M になる。M=4001M=4001 では κ2M=1.60\kappa^2M=1.60 で、t=0.01t=0.01 では 1−1.60×10−41-1.60\times10^{-4} となり、厳密な時間発展の値と5桁一致した。指数関数なら 1−Γt1-\Gamma t で1次から減るはずなので、短い時間では Markov の近似は成り立たない。2次で始まる区間の長さは帯域の逆数 1/W1/W 程度で、帯域を ±5\pm5 に狭めると指数関数との差は最大 0.04 まで増える。

(3) 時間発展はモードごとの位相 e−ikδt\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\delta t} の重ね合わせで、t=2π/δ=628t=2\pi/\delta=628 ですべての位相が同時に1に戻る。放出された光子の波束が、離散化した有限の空間を一周して原子に戻ってくることに当たる。数値では t≈636t\approx636 で ∣ce∣2\lvert c_{\mathrm e}\rvert ^2 が 0.55 まで戻った。真に連続なモード（無限に大きな空間）では再生時刻が無限に遠くへ去り、減衰は不可逆になる。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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