粒子数を保たない2次形式：Bogoliubov の理論

量子力学の様々な構成方法　第6部 第7章 §6.7.3　★★★ 凝縮体の演算子を数に置き換えると粒子数を保たない2次形式が残り、各波数の対が第3章の2モードの模型になって、音波から自由粒子へ移る分散が出る

凝縮体の演算子を数に置き換える

体積 $V$ の箱（周期境界条件）に、質量 $m$ のボース粒子が $N$ 個入っているとする。粒子どうしは接触相互作用 $g\,\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}')$（$g>0$）で弱く反発する。第2章の2体の演算子の公式を平面波の基底に当てると、ハミルトニアンは

$$\hat H=\sum_{\bm{k}}\varepsilon _k\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}+\frac{g}{2V}\sum_{\bm{k},\bm{k}',\bm{q}}\hat a_{\bm{k}+\bm{q}}^\dagger\hat a_{\bm{k}'-\bm{q}}^\dagger\hat a_{\bm{k}'}\hat a_{\bm{k}},\qquad\varepsilon _k=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\tag{6.7.8}$$

で、$\hat N$ と可換である。相互作用が無ければ温度0の基底状態は全員が $\bm{k}=0$ にいる $(\hat a_0^\dagger)^N| 0 \rangle /\sqrt{N!}$ で、第5章の Bose–Einstein 凝縮の極端な場合である。

弱い相互作用があっても、大部分の粒子は $\bm{k}=0$ に残ると期待することができる。$\bm{k}=0$ にいる粒子の数を $N_0$ とすると、$\hat a_0$ と $\hat a_0^\dagger$ の行列要素は $\sqrt{N_0}$ 程度の大きさで、交換子 $\left[\hat a_0,\,\hat a_0^\dagger\right]=1$ はそれに比べて無視することができる。Bogoliubov はこの点に注目し、$\hat a_0$ と $\hat a_0^\dagger$ をどちらも数 $\sqrt{N_0}$ に置き換えた（N. N. Bogoliubov (1947), J. Phys. USSR 11, 23）。置き換えたあと、$\bm{k}\ne0$ の演算子について2次までの項を残す。(6.7.8) の和の中で $\bm{k}=0$ の演算子をちょうど2つ含む項を数えると、$\hat a_0^\dagger\hat a_0^\dagger\hat a_{\bm{k}}\hat a_{-\bm{k}}$ とその共役が1組ずつ、$\hat a_0^\dagger\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}\hat a_0$ の形が4つあるので

$$\hat H\approx\frac{gN_0^2}{2V}+\sum_{\bm{k}\ne0}\Bigl[\varepsilon _k+\frac{2gN_0}{V}\Bigr]\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}+\frac{gN_0}{2V}\sum_{\bm{k}\ne0}\bigl(\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{-\bm{k}}^\dagger+\hat a_{-\bm{k}}\hat a_{\bm{k}}\bigr)$$

になる。$\bm{k}=0$ の演算子を1つか3つ含む項は運動量の保存で消える。最後に $N_0=N-\sum_{\bm{k}\ne0}\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}$ を第1項に入れ、$N_0^2\approx N^2-2N\sum'\hat a^\dagger\hat a$ とし、2次の項の係数の $N_0$ を $N$ に置き換えると（どちらも $\bm{k}\ne0$ の粒子の数に比べて大きいとして高次を捨てる）、密度 $n=N/V$ を使って

$$\hat H_{\mathrm B}=\frac{gN^2}{2V}+\sum_{\bm{k}\ne0}(\varepsilon _k+gn)\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}+\frac{gn}{2}\sum_{\bm{k}\ne0}\bigl(\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{-\bm{k}}^\dagger+\hat a_{-\bm{k}}\hat a_{\bm{k}}\bigr)\tag{6.7.9}$$

を得る。$\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{-\bm{k}}^\dagger$ は運動量 $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の粒子を対で作る項で、全運動量は保つが粒子数を2つ増やす。元の (6.7.8) は粒子数を保っていたので、この項は凝縮体から2個の粒子を取り出して $\pm\bm{k}$ へ移す過程を、凝縮体の側の演算子を数に置き換えて書き直したものである。

波数の対ごとの対角化

(6.7.9) を $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の対ごとにまとめると、各対の部分は$(\varepsilon _k+gn)(\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}+\hat a_{-\bm{k}}^\dagger\hat a_{-\bm{k}})+gn(\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{-\bm{k}}^\dagger+\hat a_{-\bm{k}}\hat a_{\bm{k}})$ で、これは第3章で扱った対を作る2モードのボース粒子の模型の $\varepsilon$ を $\varepsilon _k+gn$ に、$\Delta$ を $gn$ に置き換えたものである（第6部第3章）。そこで示したとおり、Bogoliubov 変換

$$\hat\alpha_{\bm{k}}=u_k\hat a_{\bm{k}}+v_k\hat a_{-\bm{k}}^\dagger,\qquad u_k^2-v_k^2=1\tag{6.7.10}$$

で $\left[\hat\alpha_{\bm{k}},\,\hat H_{\mathrm B}\right]=E_k\hat\alpha_{\bm{k}}$ となるように $u_k,v_k$ を選ぶ。$\left[\hat a_{\bm{k}},\,\hat H_{\mathrm B}\right]=(\varepsilon _k+gn)\hat a_{\bm{k}}+gn\,\hat a_{-\bm{k}}^\dagger$、$\left[\hat a_{-\bm{k}}^\dagger,\,\hat H_{\mathrm B}\right]=-(\varepsilon _k+gn)\hat a_{-\bm{k}}^\dagger-gn\,\hat a_{\bm{k}}$ を使うと、条件は

$$\begin{pmatrix}\varepsilon _k+gn&-gn\\ gn&-(\varepsilon _k+gn)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_k\\ v_k\end{pmatrix}=E_k\begin{pmatrix}u_k\\ v_k\end{pmatrix}$$

で、行列の固有値は $\pm\sqrt{(\varepsilon _k+gn)^2-(gn)^2}$ である。正の方を取って

$$E_k=\sqrt{\varepsilon _k(\varepsilon _k+2gn)},\qquad v_k^2=\frac12\Bigl(\frac{\varepsilon _k+gn}{E_k}-1\Bigr),\quad u_k^2=v_k^2+1,\quad u_kv_k=\frac{gn}{2E_k}\tag{6.7.11}$$

を得る。$\hat\alpha_{\bm{k}}$ と $\hat\alpha_{\bm{k}}^\dagger$ は交換関係 $\left[\hat\alpha_{\bm{k}},\,\hat\alpha_{\bm{k}'}^\dagger\right]=\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ を満たし（$u_k^2-v_k^2=1$ による）、

$$\hat H_{\mathrm B}=E_0+\sum_{\bm{k}\ne0}E_k\hat\alpha_{\bm{k}}^\dagger\hat\alpha_{\bm{k}},\qquad E_0=\frac{gN^2}{2V}+\frac12\sum_{\bm{k}\ne0}\bigl(E_k-\varepsilon _k-gn\bigr)\tag{6.7.12}$$

になる。基底状態 $| 0_{\mathrm B} \rangle$ はすべての $\hat\alpha_{\bm{k}}$ で消える状態で、励起は $\hat\alpha_{\bm{k}}^\dagger$ が作る準粒子である。

(6.7.11) の分散は2つの極限で別の形になる。$\varepsilon _k\ll gn$ では $E_k\approx\hbar ck$、$c=\sqrt{gn/m}$ で、波数に比例する音波（フォノン）である。$\varepsilon _k\gg gn$ では $E_k\approx\varepsilon _k+gn$ で、自由粒子（共通例題③）のエネルギーに凝縮体からの平均の反発 $gn$ を足したものである。2つの境目は $\varepsilon _k\approx gn$、すなわち癒し長 $\xi=\hbar/\sqrt{2mgn}$ で $k\xi\approx1$ の所にある。$\varepsilon _k=gn(k\xi)^2$ と書けるので$E_k=\hbar ck\sqrt{1+(k\xi)^2/2}$ となり、第7部第3章が Gross–Pitaevskii 方程式の線形化で出した分散と同じ式である（第7部第3章）。第6部第6章では Gross–Pitaevskii 方程式をコヒーレント状態の経路積分の停留点として出した（第6部第6章）。(6.7.9) は、その停留点（一様な凝縮体）のまわりで作用を揺らぎの2次まで展開したものに当たり、Bogoliubov の理論は経路積分の言葉では「停留点＋Gauss 積分」の近似である。相互作用の無い気体では $c=0$ で、励起は $k\to0$ で傾き0の放物線になる。Landau の臨界速度の議論で超流動を可能にするのは、相互作用が分散の傾きを有限にすることである。

基底状態は粒子数を決めない：枯渇

$\hat a_{\bm{k}}=u_k\hat\alpha_{\bm{k}}-v_k\hat\alpha_{-\bm{k}}^\dagger$ と逆に解くと、基底状態で $\bm{k}\ne0$ にいる粒子の数は $\langle 0_{\mathrm B} |\hat a_{\bm{k}}^\dagger\hat a_{\bm{k}}| 0_{\mathrm B} \rangle =v_k^2$ である。温度0でも、相互作用のために粒子の一部が凝縮体の外にいる。この数を量子的な枯渇と呼ぶ。3次元で和を積分 $V\int\mathrm{d}^3k/(2\pi)^3$ に置き換え、$q_{\mathrm c}\coloneqq\sqrt{mgn}/\hbar$（$=1/(\sqrt2\xi)$）を使うと

$$\frac{N-N_0}{V}=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}v_k^2=\frac{q_{\mathrm c}^3}{3\pi^2}\tag{6.7.13}$$

になる。積分は $k=q_{\mathrm c}x$ と置くと $\frac{q_{\mathrm c}^3}{2\pi^2}\int_0^\infty x^2v^2\mathrm{d} x$ で、$v^2$ が大きな $x$ で $x^{-4}$ のように減るので収束する（値は verify_ch6-07.py で数値積分と照合した）。接触相互作用の強さを2体の散乱長 $a_{\mathrm s}$ で $g=4\pi\hbar^2a_{\mathrm s}/m$ と書くと $q_{\mathrm c}^2=4\pi a_{\mathrm s}n$ で、枯渇の割合は$(N-N_0)/N=\frac{8}{3\sqrt\pi}\sqrt{na_{\mathrm s}^3}$ になる。$\sqrt{na_{\mathrm s}^3}$ は希薄さを表す無次元量（気体のパラメータ）で、Bogoliubov の理論はこれが小さいときの理論である。

一方、基底エネルギー (6.7.12) の和は収束しない。大きな $k$ で $E_k-\varepsilon _k-gn\approx-(gn)^2/(2\varepsilon _k)\propto k^{-2}$ なので、$\int\mathrm{d}^3k\,k^{-2}$ が上限に比例して発散する。これは接触相互作用 $g\,\delta^{(3)}$ そのものが3次元で意味を持たず、$g$ を散乱長で書き直す（2体の散乱の2次の項で $g$ をくりこむ）必要があることの表れである。その手続きのあとで、エネルギー密度は $\frac{2\pi\hbar^2a_{\mathrm s}n^2}{m}\bigl[1+\frac{128}{15\sqrt\pi}\sqrt{na_{\mathrm s}^3}+\cdots\bigr]$ になる（T. D. Lee, K. Huang and C. N. Yang (1957), Phys. Rev. 106, 1135）。この章ではくりこみの手続きに立ち入らず、発散が現れる理由を述べるだけにする。