凝縮体の巨視的波動関数と Gross–Pitaevskii 方程式

量子力学の様々な構成方法　第7部 第3章 §7.3.1　★★ 多数のボース粒子が同じ状態に入った凝縮体を、粒子数密度に規格化した1つの複素関数で書き、その方程式を変分で導く

第7部第1章（第7部第1章）では、1粒子の波動関数を極形式 $\psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ に書き、Schrödinger 方程式を確率密度 $\rho$ と速度場 $\bm{v}=\nabla S/m$ の流体の方程式に書き直した。そこでの流体は「1個の粒子を何度も測ったときの統計」の流れで、その流れそのものを1回の実験で目にすることはできない。また第7部第1章の終わりで見たように、多粒子の波動関数を同じ形に書くと、流体は 3 次元の空間でなく $3N$ 次元の配位空間に住むことになる（この限界は第7部第6章（第7部第6章）で扱う）。

この2つの事情が両方とも変わる場面がある。多数のボース粒子がほぼ全部同じ1粒子状態 $\phi(\bm{r})$ に入っているBose–Einstein 凝縮体では、$\psi(\bm{r},t)=\sqrt N\,\phi(\bm{r},t)$ と置くと $\lvert \psi\rvert ^2$ は本物の粒子数密度 $n(\bm{r},t)$ になり、1回の実験で写真に撮れる量になる。しかも $\psi$ は 3 次元の空間の関数のままである。$\psi$ の従う方程式が Gross–Pitaevskii（GP）方程式で、それを極形式に書けば、第7部第1章の Madelung 方程式に粒子間の相互作用による圧力が1項加わった、本物の流体の方程式になる。第7部第1章の同値性の定理で要請として置いた循環の量子化条件は、ここで初めて実験で直接確かめられる主張になる。超流動ヘリウムと原子気体の凝縮体の中の量子渦は、循環が $h/m$ の整数倍しかとれないことの目に見える証拠である。

この章は、部の型（出発点の要請 → 基本の対象 → 基準との同値 → 共通例題 → 得意な問題 → 限界）のうち「この構成が得意な問題」を受け持つ。第1節で GP 方程式を平均場の変分として導き、第2節でそれを流体の形に直して、圧力・癒し長・Thomas–Fermi 近似を出す。第3節は流体を線形化して音波と Bogoliubov の分散を導き、Landau の臨界速度へ進む。第4節で循環の量子化から量子渦の構造とエネルギーを求め、第5節で回る容器の中の渦の数（Feynman の規則）と、荷電した凝縮体である超伝導体の磁束の量子化を扱う。第6節の橋では、GP 方程式が第二量子化の場の演算子の Heisenberg 方程式からどう出るかを示し、第8部・第10部へのつながりを並べる。共通例題①は、相互作用を $0$ にした極限で第2節に現れる。

積の波動関数と接触相互作用

質量 $m$ のボース粒子 $N$ 個が外のポテンシャル $V(\bm{r})$ の中にいて、2体の相互作用 $U(\bm{r}_i-\bm{r}_j)$ を及ぼし合うとする。ハミルトニアンは

$$\hat H_N=\sum_{i=1}^N\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2+V(\bm{r}_i)\Bigr)+\sum_{i<j}U(\bm{r}_i-\bm{r}_j)\tag{7.3.1}$$

である。極低温の希薄な原子気体では、粒子どうしの距離が相互作用の到達距離よりずっと長く、2つの粒子の衝突は低エネルギーの s 波の散乱だけで決まる。そのため、相互作用の細かい形は散乱長 $a_{\mathrm s}$ という1つの長さにまとめられ、同じ散乱長を与える接触相互作用

$$U(\bm{r})=g\,\delta^{(3)}(\bm{r}),\qquad g=\frac{4\pi\hbar^2a_{\mathrm s}}{m}\tag{7.3.2}$$

に置き換えてよい。$a_{\mathrm s}>0$ が斥力で、この章では斥力の場合だけを扱う（引力の凝縮体は粒子数が多いと潰れる）。$g$ の式は、接触相互作用 $g\,\delta^{(3)}(\bm{r})$ の散乱を Born 近似で計算したとき散乱長が $a_{\mathrm s}$ になるように選んだ強さで、$a_{\mathrm s}$ と $g$ を結ぶ換算と読めばよい。

凝縮体を最も簡単に書く試行関数は、$N$ 個の粒子がすべて同じ規格化された1粒子状態 $\phi$ に入った積

$$\Psi(\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_N)=\prod_{i=1}^N\phi(\bm{r}_i),\qquad\int\lvert \phi\rvert ^2\mathrm{d}^3r=1\tag{7.3.3}$$

である。ボース粒子なので積はそのまま対称で、対称化の手間は要らない。この $\Psi$ で (7.3.1) の期待値をとると、1体の項は粒子ごとに同じ値を $N$ 回、2体の項は $N(N-1)/2$ 個の対が同じ値を与え、

$$\langle \Psi | \hat H_N | \Psi \rangle =N\int\Bigl(\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \nabla\phi\rvert ^2+V\lvert \phi\rvert ^2\Bigr)\mathrm{d}^3r+\frac{N(N-1)}{2}\,g\int\lvert \phi\rvert ^4\mathrm{d}^3r$$

となる。$N\gg1$ で $N-1$ を $N$ に置き換え、巨視的波動関数 $\psi=\sqrt N\,\phi$（$\int\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d}^3r=N$）で書き直すと、

$$E[\psi]=\int\Bigl(\frac{\hbar^2}{2m}\lvert \nabla\psi\rvert ^2+V\lvert \psi\rvert ^2+\frac g2\lvert \psi\rvert ^4\Bigr)\mathrm{d}^3r\tag{7.3.4}$$

を得る。これを GP のエネルギー汎関数と呼ぶ。$n(\bm{r})=\lvert \psi(\bm{r})\rvert ^2$ は、凝縮体の粒子数密度そのものである。

変分で GP 方程式を導く

粒子数 $\int\lvert \psi\rvert ^2=N$ を保ったまま $E[\psi]$ を最小にする。Lagrange の未定乗数を $\mu$ として $E[\psi]-\mu\int\lvert \psi\rvert ^2$ の変分をとる。$\psi$ と $\psi^*$ を独立に動かしてよい（実部と虚部を独立に動かすのと同じ）ので、$\psi^*$ についての汎関数微分を $0$ と置き、$\int\lvert \nabla\psi\rvert ^2$ の項は部分積分して

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi+g\lvert \psi\rvert ^2\psi=\mu\psi\tag{7.3.5}$$

を得る。これが時間によらない GP 方程式である。1粒子の Schrödinger 方程式に、ほかの $N-1$ 個の粒子が平均としてつくるポテンシャル $g n(\bm{r})$ が加わった形をしている。未定乗数 $\mu$ は、(7.3.5) に $\psi^*$ を掛けて積分すると $\mu N=E+\frac g2\int\lvert \psi\rvert ^4$ となり、1粒子あたりのエネルギー $E/N$ とは相互作用の分だけ違う。変分の解で $N$ を変えると $\mathrm{d} E/\mathrm{d} N=\mu$ が成り立つ（Lagrange の未定乗数は束縛条件の値に対する最小値の変化率である）ので、$\mu$ は化学ポテンシャルである。

時間変化は、作用 $\int\mathrm{d} t\bigl[\int\mathrm{i}\hbar\,\psi^*\partial_t\psi\,\mathrm{d}^3r-E[\psi]\bigr]$ を $\psi^*$ で変分して

$$\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi+g\lvert \psi\rvert ^2\psi\tag{7.3.6}$$

と書く。定常解は $\psi(\bm{r},t)=\psi(\bm{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mu t/\hbar}$ で、位相は時間とともに $\mu/\hbar$ の速さで回る（エネルギー $E/N$ でなく $\mu$ で回ることに注意する）。(7.3.6) は $\int\lvert \psi\rvert ^2$ と $E[\psi]$ を保存する。$g=0$ と置き、$\psi$ を $\sqrt N$ で割れば、1粒子の Schrödinger 方程式そのものに戻る。

GP 方程式は、積の試行関数 (7.3.3) という平均場の近似で得た。この近似がどの極限で正しいかは数学で答えが出ている。E. H. Lieb、R. Seiringer、J. Yngvason は、斥力の希薄な気体で $N\to\infty$、$Na_{\mathrm s}$ を一定（罠の大きさを単位にとる）に保つ極限で、$\hat H_N$ の基底エネルギーを $N$ で割ったものと粒子数密度が GP 汎関数の最小値と最小解に収束することを証明した（E. H. Lieb, R. Seiringer, J. Yngvason, Phys. Rev. A 61, 043602 (2000)）。時間発展については、L. Erdős、B. Schlein、H.-T. Yau が、凝縮した初期状態から出発すると多体の1体密度行列が (7.3.6) の解に収束し続けることを示した（L. Erdős, B. Schlein, H.-T. Yau, Ann. of Math. 172, 291 (2010)）。どちらでも、$g$ は相互作用 $U$ の Born 近似の積分でなく真の散乱長で決まることが要点で、(7.3.2) の置き換えは極限の中で正当化される。GP 方程式の名前は、渦の構造を調べるために同じ方程式を独立に書いたE. P. Gross（Nuovo Cimento 20, 454 (1961)）と L. P. Pitaevskii（Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961)）による。