GP 方程式の流体形：圧力と癒し長

量子力学の様々な構成方法　第7部 第3章 §7.3.2　★★★ GP 方程式を極形式に書くと、量子圧力と相互作用の圧力を持つ渦なしの流体の方程式になる。二つの圧力の兼ね合いが癒し長を決める

極形式に書く

第7部第1章と同じく、$\psi$ を極形式

$$\psi(\bm{r},t)=\sqrt{n(\bm{r},t)}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S(\bm{r},t)/\hbar},\qquad\bm{v}=\frac{\nabla S}{m}\tag{7.3.7}$$

に書く。$n$ は確率密度でなく粒子数密度で、$\int n\,\mathrm{d}^3r=N$ である。第7部第1章の計算は、ポテンシャル $V$ を $V+gn$ に置き換えるだけでそのまま使える。$g\lvert \psi\rvert ^2\psi=gn\psi$ は $\psi$ に実数の関数 $gn$ を掛けた形で、外のポテンシャル $V\psi$ と同じ種類の項だからである。(7.3.6) の両辺に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} S/\hbar}$ を掛けて実部と虚部に分けると、

$$\begin{gather*}\partial_tn+\nabla\cdot(n\bm{v})=0,\tag{7.3.8}\\\partial_tS+\frac{m\lvert \bm{v}\rvert ^2}{2}+V+Q+gn=0,\qquad Q=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\sqrt n}{\sqrt n}\tag{7.3.9}\end{gather*}$$

を得る。1本目は粒子数の連続の式、2本目は量子 HJ 方程式に $gn$ が加わったものである。2本目の勾配をとると Euler 方程式

$$m\Bigl(\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\Bigr)=-\nabla V-\frac1n\sum_j\partial_jP_{ij}\,\bm{e}_i-\frac1n\nabla P_{\mathrm{int}},\qquad P_{\mathrm{int}}=\frac g2n^2\tag{7.3.10}$$

になる。ここで $P_{ij}=-(\hbar^2/4m)\,n\,\partial_i\partial_j\ln n$ は第7部第1章の量子応力テンソル（$n\partial_iQ=\sum_j\partial_jP_{ij}$）で、$\nabla(gn)=(1/n)\nabla P_{\mathrm{int}}$ は $P_{\mathrm{int}}=gn^2/2$ の微分から出る。$P_{\mathrm{int}}$ は前節の一様な凝縮体の圧力と同じ式で、密度だけで決まる圧力（状態方程式 $P_{\mathrm{int}}(n)$ を持つ順圧流体の圧力）である。

証明

第7部第1章の同値性の定理の証明で、外のポテンシャル $V(\bm{r})$ を $V(\bm{r})+gn(\bm{r},t)$ に置き換えればよい。その証明で $V$ について使ったのは「実数の関数で、$\psi$ に掛かる」ことだけで、$V$ が時間や $\psi$ によらないことは使っていない。Schrödinger から流体への向きは上の計算そのもので、流体から Schrödinger への向きでは、位相 $S$ を $m\bm{v}$ の線積分で作り、量子 HJ 方程式 (7.3.9) の左辺の勾配が (7.3.10) から $0$ になることを使って時間の関数 $s(t)$ を選び直す。量子化条件が $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を1価にする役目も同じである。

古典の流体と比べると、違いは量子応力 $P_{ij}$ と、渦なし・循環の量子化の2つの条件である。古典の理想流体の Euler 方程式にも同じ形の圧力の項 $-(1/n)\nabla P$ があり、状態方程式 $P(n)=gn^2/2$ を持つ順圧の気体と同じ形になる。

二つの圧力の兼ね合い：癒し長

量子応力と相互作用の圧力の大きさを比べる。密度が長さ $\ell_n$ の範囲で変わるとき、量子ポテンシャルは $Q\sim\hbar^2/(2m\ell_n^2)$ の大きさで、相互作用のエネルギーは $gn$ である。両者が等しくなる長さを

$$\frac{\hbar^2}{2m\xi^2}=gn\quad\Longleftrightarrow\quad\xi=\frac{\hbar}{\sqrt{2mgn}}=\frac{1}{\sqrt{8\pi na_{\mathrm s}}}\tag{7.3.11}$$

と書き、癒し長（healing length）と呼ぶ。密度が $\xi$ より長い距離でゆっくり変わる所では量子応力は無視でき、流体は古典の順圧流体と同じに振る舞う。壁や渦の芯のように密度が $0$ まで落ちる所では、密度は $\xi$ 程度の距離で回復する。名前は、乱された密度がこの距離で元に戻ること（傷が癒えること）による。最後の等号は $g=4\pi\hbar^2a_{\mathrm s}/m$ を入れたもので、$\xi$ は質量にも $\hbar$ にもよらず、密度と散乱長だけで決まる。

Thomas–Fermi 近似と共通例題①

罠のポテンシャルの大きさ（凝縮体の半径 $R$）が $\xi$ よりずっと大きいとき、凝縮体の内部では量子応力を落としてよい。定常で $\bm{v}=0$ の (7.3.9) から $Q$ を落とすと $V+gn=\mu$、つまり

$$n(\bm{r})=\frac{\mu-V(\bm{r})}{g}\quad(\mu>V\ \text{の所}),\qquad n=0\quad(\text{それ以外})\tag{7.3.12}$$

となる。これを Thomas–Fermi 近似と呼ぶ（電子の Thomas–Fermi 理論と同じく、運動エネルギーの勾配の項を落とした近似である）。流体の言葉では、外の力と相互作用の圧力だけの静水圧のつり合い $\nabla P_{\mathrm{int}}=-n\nabla V$ である。等方的な調和ポテンシャル $V=m\omega^2r^2/2$ では、密度は半径 $R_{\mathrm{TF}}=\sqrt{2\mu/(m\omega^2)}$ の逆さの放物面になり、$N=\int n\,\mathrm{d}^3r$ から $\mu$ が決まって

$$\mu=\frac{\hbar\omega}{2}\Bigl(\frac{15Na_{\mathrm s}}{a_{\mathrm{ho}}}\Bigr)^{2/5},\qquad a_{\mathrm{ho}}=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}\tag{7.3.13}$$

となる。$Na_{\mathrm s}/a_{\mathrm{ho}}\gg1$ がこの近似の条件で、そのとき $\mu\gg\hbar\omega$、$R_{\mathrm{TF}}\gg a_{\mathrm{ho}}\gg\xi$ が成り立つ（(7.3.11) から $\xi/R_{\mathrm{TF}}=a_{\mathrm{ho}}^2/(\sqrt2R_{\mathrm{TF}}^2)$）。

反対の極限 $g\to0$ では、GP 方程式は1粒子の Schrödinger 方程式に戻り、凝縮体は全粒子が共通例題①の基底状態に入った状態になる。密度はガウス分布、$\bm{v}=0$ で、(7.3.9) の定常形は第7部第1章の $V+Q=\hbar\omega/2$（1方向あたり）に戻る。化学ポテンシャルは零点エネルギーそのものである。図 7.3.1 は1次元の罠で GP 方程式を数値で解き、Thomas–Fermi の放物線と比べたものである。中心部は放物線とよく合い、端だけが $\xi$ 程度の幅で滑らかになる。放物線が $0$ になる端では密度が小さく $\xi\propto n^{-1/2}$ が長くなるので、そこでは量子応力が戻ってくる。