小さな振動：音波と Bogoliubov の分散

量子力学の様々な構成方法　第7部 第3章 §7.3.3　★★★ 流体の方程式を線形化するだけで、第二量子化で Bogoliubov 変換を使って出す励起の分散がそのまま出る。短波長の側の分散は量子応力の項から出る

線形化

一様な凝縮体（密度 $n_0$、$\bm{v}=0$、$S=-\mu t$）からの小さなずれを $n=n_0+\delta n$、$S=-\mu t+\delta S$ と書き、(7.3.8) と (7.3.9) を$\delta n$、$\delta S$ の1次まで展開する。量子ポテンシャルは $\sqrt{n_0+\delta n}=\sqrt{n_0}\,(1+\delta n/(2n_0)+\cdots)$ から$Q\approx-(\hbar^2/4mn_0)\nabla^2\delta n$ となるので、

$$\partial_t\delta n+\frac{n_0}{m}\nabla^2\delta S=0,\qquad \partial_t\delta S+g\,\delta n-\frac{\hbar^2}{4mn_0}\nabla^2\delta n=0\tag{7.3.14}$$

を得る。平面波 $\delta n=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}$、$\delta S=B\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega_kt)}$ を入れると$-\mathrm{i}\omega_kA-(n_0k^2/m)B=0$、$-\mathrm{i}\omega_kB+(g+\hbar^2k^2/(4mn_0))A=0$ となり、$A,B$ が $0$ でない解を持つ条件（係数の行列式が $0$）から

$$\omega_k^2=\frac{gn_0}{m}k^2+\Bigl(\frac{\hbar k^2}{2m}\Bigr)^2 =c_{\mathrm s}^2k^2\Bigl(1+\frac{(k\xi)^2}{2}\Bigr),\qquad c_{\mathrm s}=\sqrt{\frac{gn_0}{m}}\tag{7.3.15}$$

を得る。

この分散には2つの領域がある。$k\xi\ll1$ では $\omega_k\approx c_{\mathrm s}k$ で、速さ $c_{\mathrm s}$ の音波（フォノン）である。$c_{\mathrm s}^2=\mathrm{d} P_{\mathrm{int}}/\mathrm{d}(mn)$ で、古典の流体の音速の公式「圧力を質量密度で微分したものの平方根」と同じである。この領域の分散は相互作用の圧力の項だけで決まり、量子応力の項は寄与しない。$k\xi\gg1$ では $\hbar\omega_k\approx\hbar^2k^2/(2m)+gn_0$ で、自由な粒子の運動エネルギーに平均場のずれを足したものになる。$k^4$ の項は量子応力の線形化から出たものである。2つの領域の境目は $k\approx1/\xi$ で、$\hbar^2k^2/(2m)=gn_0$ となる波数である。図 7.3.2 にこの形を示した。

図 7.3.2　一様な凝縮体の励起の分散 (7.3.15)。点線が厳密な Bogoliubov の分散、実線が2つの近似（長波長の音波と、短波長の自由粒子＋平均場のずれ）。$\hbar/(m\xi)=\sqrt2\,c_{\mathrm s}$ を使って単位をそろえた。境目は $k\xi\approx1$ である。

同じ分散を、第二量子化では N. N. Bogoliubov（1947）の方法で導く。凝縮のモードの演算子を数 $\sqrt{N}$ で置き換え、残りの演算子の2次までのハミルトニアンをBogoliubov 変換で対角化すると、励起のエネルギーが $\hbar\omega_k$ になる。流体の側では、同じものを古典の場の方程式の線形化として出した。量子力学に固有の情報は、量子応力 $-(\hbar^2/4mn_0)\nabla^2\delta n$ の1項にすべて入っている。両者の対応は第6節で述べる。

Landau の臨界速度

凝縮体の流れが摩擦なしに続く（超流動）理由を、この分散から L. D. Landau の議論で説明する。

相互作用の無い理想的なボース気体では $\varepsilon (p)=p^2/(2m)$ で $u_{\mathrm c}=0$ となり、どんなに遅い流れも励起を作って減速する。凝縮しているだけでは超流動にならず、斥力の相互作用が音波の分散を作って初めて有限の臨界速度が生まれる。流体の言葉では、凝縮体が「圧縮されにくい流体」であることが超流動の条件である。液体ヘリウムでは分散がロトンと呼ばれる極小を持ち、実際に観測される臨界速度は渦の生成によってさらに低くなる。(7.3.16) は上限を与える。