循環の量子化と量子渦

量子力学の様々な構成方法　第7部 第3章 §7.3.4　★★★ 第7部第1章で要請として置いた循環の量子化が、凝縮体の中では渦の芯の周りの循環 $h/m$ として現れる。芯の構造とエネルギーを GP 方程式で求める

循環の量子

命題 7.3.1 の量子化条件を、閉曲線 $C$ に沿った速度の循環で書くと

$$\Gamma_C\coloneqq\oint_C\bm{v}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\ell\,\kappa,\qquad\kappa=\frac{2\pi\hbar}{m}=\frac hm,\qquad\ell\in\mathbb{Z}\tag{7.3.17}$$

となる。$\kappa$ を循環の量子と呼ぶ。$\nabla\times\bm{v}=0$ なので、$C$ を $n>0$ の領域の中で連続的に変形しても $\Gamma_C$ は変わらない。$C$ を1点に縮められる領域では $\Gamma_C=0$ で、$\ell\neq0$ になれるのは $C$ が密度 $0$ の線（渦の芯）を囲むときだけである。第7部第1章の同値性の定理で「節があると領域が単連結でなくなり、量子化条件が独立な条件として要る」と述べた事情を、渦はそのまま目に見える形にしている。芯の上では $\psi=0$ なので位相が定まらず、芯の周りを1周すると位相 $S/\hbar$ が $2\pi\ell$ だけ増える。$\ell$ は芯の巻き数である。

超流動ヘリウムで循環が $h/m$ の整数倍に量子化されることは L. Onsager（1949）と R. P. Feynman（1955）が予言し、W. F. Vinen が、回転する超流動ヘリウムの中に張った細い針金の振動の歳差から、針金の周りの循環が $0$ か $h/m$ の1単位の値をとることを測った（W. F. Vinen, Proc. R. Soc. Lond. A 260, 218 (1961)）。巨視的な物体の周りの流れで量子化が直接測られた最初の例である。

まっすぐな渦の構造

$z$ 軸に沿ったまっすぐな渦を、円柱座標 $(r,\varphi,z)$ で

$$\psi=\sqrt{n_0}\,f(r)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell\varphi},\qquad\bm{v}=\frac{\hbar}{m}\nabla(\ell\varphi)=\frac{\hbar\ell}{mr}\,\bm{e}_\varphi\tag{7.3.18}$$

と置く（$\mu=gn_0$、遠方で $f\to1$）。速度場は $1/r$ で減る渦なしの流れで、半径 $r$ の円の上の循環は $2\pi r\cdot\hbar\ell/(mr)=\ell\kappa$ と半径によらない。渦度は $\nabla\times\bm{v}=\ell\kappa\,\delta^{(2)}(x,y)\,\bm{e}_z$ で、芯の1本の線に集中している。$\ell\varphi$ は $\varphi$ を1周すると $2\pi\ell$ 増えるので、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell\varphi}$ が1価であることと $\ell\in\mathbb{Z}$ は同じことである。

芯の形 $f(r)$ は GP 方程式 (7.3.5) を解いて決める。$\nabla^2(f\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell\varphi})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\ell\varphi}(f''+f'/r-\ell^2f/r^2)$ を使い、$\tilde r=r/\xi$ と書くと

$$\frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\tilde r^2}+\frac1{\tilde r}\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \tilde r}-\frac{\ell^2}{\tilde r^2}f+f-f^3=0\tag{7.3.19}$$

となる。$-\ell^2f/\tilde r^2$ は流れの運動エネルギー（遠心力のポテンシャル）で、それが芯の近くで密度を押し出す。$\tilde r\to0$ では $f\propto\tilde r^{\lvert \ell\rvert }$、$\tilde r\to\infty$ では $f\approx1-\ell^2/(2\tilde r^2)$ と振る舞う（後者は (7.3.19) に代入して $\tilde r^{-2}$ の項が打ち消すことで確かめられる）。流体の言葉では、遠方の $f$ のずれは Bernoulli の定理の量子版で、流れの速さ $\hbar\ell/(mr)$ が大きい所ほど圧力（密度）が下がる。

$\ell=1$ について (7.3.19) を数値的に解いた結果を図 7.3.3 に示す。芯の近くでは $f\approx0.583\,\tilde r$ で、$f=1/2$（密度が遠方の 1/4）になるのは $r=0.95\,\xi$ である。芯の大きさは癒し長の程度で、超流動ヘリウムでは原子の大きさの 0.1 nm の程度、原子気体では 0.3 μm の程度になる。簡単な近似式 $f\approx\tilde r/\sqrt{\tilde r^2+2}$ は、原点の近くと遠方の振る舞いを両方とも正しい形で持ち、数値解との差は最大で 0.06 である。

渦のエネルギー

渦を1本入れたときの単位長さあたりのエネルギーの増え方を求める。芯の外 $a<r<R$（$a$ は芯の大きさ、$R$ は容器の半径）では $n\approx n_0$ なので、流れの運動エネルギーは

$$\frac{E_{\mathrm v}}{Z}\approx\int_a^R\frac{mn_0}{2}\Bigl(\frac{\hbar\ell}{mr}\Bigr)^2\,2\pi r\,\mathrm{d} r=\frac{\pi\hbar^2n_0\ell^2}{m}\ln\frac Ra\tag{7.3.20}$$

となる（$Z$ は渦の長さ）。$1/r$ で減る速度の2乗を面積で積分するので対数が出て、エネルギーの大部分は芯から遠い所の流れの運動エネルギーである。芯の中の寄与（密度が下がって相互作用のエネルギーが減る分と、密度の勾配の分）は対数の中の定数を決めるだけで、図 7.3.3 の数値解で GP のエネルギーを積分すると$\ell=1$ で

$$\frac{E_{\mathrm v}}{Z}=\frac{\pi\hbar^2n_0}{m}\ln\Bigl(1.464\,\frac R\xi\Bigr)\qquad(R\gg\xi)\tag{7.3.21}$$

となる（検算で数値積分した）。

(7.3.20) は巻き数の2乗 $\ell^2$ に比例する。巻き数 $2$ の渦1本は $\ell=1$ の渦2本より約2倍重い（2本の間の相互作用のエネルギーは、2本が十分離れれば対数の主要項より小さい）。したがって大きな巻き数の渦は巻き数1の渦に分かれるほうがエネルギーが低く、凝縮体の中で安定に見えるのは巻き数1の渦である。循環の量子 $\kappa$ が渦の数を数える単位になるのは、この事情による。