回る容器と荷電した凝縮体

量子力学の様々な構成方法　第7部 第3章 §7.3.5　★★ 渦なしの流体は剛体のようには回れない。回る容器の中では渦が格子を作って平均として剛体回転をまね、荷電した凝縮体では同じ量子化が磁束の量子 $h/2e$ になる

剛体回転はできない

角速度 $\Omega$ で回る円柱の容器に普通の流体を入れると、粘性によって流体は最後に容器と一緒に剛体のように回る。その速度場 $\bm{v}=\Omega\,\bm{e}_z\times\bm{r}$ は渦度 $\nabla\times\bm{v}=2\Omega\,\bm{e}_z$ を持ち、凝縮体の渦なしの条件と両立しない。凝縮体が回転に応じる方法は、渦を入れることだけである。

回る容器と一緒に回る座標系では、エネルギーの代わりに $E'=E-\Omega L_z$（$L_z$ は凝縮体の全角運動量の $z$ 成分）を最小にする状態が実現する。容器の中心に巻き数1の渦を1本入れると、全粒子が角運動量 $\hbar$ を持つ（$\psi\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ は $\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\partial_\varphi$ の固有値 $\hbar$ の状態）ので、長さ $Z$ の容器では $L_z=\hbar\,n_0\pi R^2Z$ の角運動量が加わる。渦が入ると $E'$ が下がるのは$E_{\mathrm v}-\Omega L_z<0$ のときで、(7.3.20) を使うと

$$\Omega>\Omega_{\mathrm c1}=\frac{\hbar}{mR^2}\ln\frac R\xi\tag{7.3.22}$$

である（対数の中の定数は主要項の精度で落とした）。$\Omega_{\mathrm c1}$ より遅い回転では凝縮体は全く回らず、容器だけが回っている。

Feynman の規則

回転を速くすると渦が増えていく。多数の渦が一様に並んだとき、渦の間隔より大きな半径 $r$ の円で循環をとると、円の中の渦の本数 $N_{\mathrm v}$ に比例して $N_{\mathrm v}\kappa$ になる。これが剛体回転の循環 $2\pi r\cdot\Omega r$ と等しくなるように渦が入ると $E'$ が最小になる（粗く見た流れが容器と同じ角速度で回るとき、流れの運動エネルギーから $\Omega L_z$ を引いた値が最も小さい）。

渦の密度は質量と回転の速さだけで決まり、液体の性質によらない。渦は互いの流れに乗って運ばれ、等しい間隔の三角格子を作る。原子気体の凝縮体では、回転させた凝縮体を罠から放して膨らませると、密度の写真に渦の芯が黒い点として並んで写る。J. R. Abo-Shaeer、C. Raman、J. M. Vogels、W. Ketterle は、100 本を超える渦が三角格子に並んだ写真を撮った（Science 292, 476 (2001)）。

荷電した凝縮体：磁束の量子

超伝導体の電子は Cooper 対を作り、対が電荷 $q=-2e$、質量 $m^*=2m_{\mathrm e}$ のボース粒子として凝縮している（対ができる仕組みはハミルトニアンの選び方で固体を考える 第5部第4章）。対の凝縮体を極形式 $\sqrt{n_{\mathrm s}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ で書くと、第7部第1章の電磁場があるときの注意のとおり、速度場は $\bm{v}=(\nabla S-q\bm{A})/m^*$、量子化条件は

$$\oint_C(m^*\bm{v}+q\bm{A})\cdot\mathrm{d}\bm{l}=2\pi\hbar\,\ell,\qquad\ell\in\mathbb{Z}\tag{7.3.24}$$

になる。輪の形の超伝導体の内部では、表面から十分深い所で電流が流れず $\bm{v}=0$ なので、そこを通る閉曲線 $C$ をとると $\oint q\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=q\Phi$（$\Phi$ は輪を貫く磁束）から

$$\lvert \Phi\rvert =\lvert \ell\rvert \,\Phi_0,\qquad\Phi_0=\frac{2\pi\hbar}{2e}=\frac h{2e}=2.068\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}\tag{7.3.25}$$

を得る。輪を貫く磁束は $h/2e$ の整数倍に量子化される。B. S. Deaver と W. M. Fairbank、R. Doll と M. Näbauer が独立にこれを測り、単位が $h/e$ でなく $h/2e$ であることを確かめた（Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961)；同 7, 51 (1961)）。分母の $2e$ は、凝縮しているのが電子1個でなく対であることの直接の証拠である。

中性の凝縮体を回す場合と見比べると、回る座標系の Lagrangian $\frac m2\lvert \dot{\bm{r}}+\bm{\Omega}\times\bm{r}\rvert ^2$ の正準運動量は $m\bm{v}+m\bm{\Omega}\times\bm{r}$ で、$m\bm{\Omega}\times\bm{r}$ がちょうど $q\bm{A}$ の役をする（回転の Coriolis 力が磁場の Lorentz 力と同じ形をしている）。容器の回転による「磁束」は$\oint m(\bm{\Omega}\times\bm{r})\cdot\mathrm{d}\bm{l}=2\pi m\Omega R^2$ である。第2種超伝導体に磁場をかけたとき入る Abrikosov の渦（1本が $\Phi_0$ を運ぶ）は、回る容器の中の量子渦の荷電版に当たる。超伝導の秩序変数の自由エネルギー（Ginzburg–Landau 理論）からの同じ結果は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第6章 で導いた。