この章のまとめ

(1) $\partial_tS=-mx^2/(2(T_0-t)^2)$、$\partial_xS=-mx/(T_0-t)$ で、$\partial_tS+(\partial_xS)^2/(2m)=0$。$t=0$ で $S_0$ に戻る。特性曲線は $\dot x=-x/(T_0-t)$ で、解は $x(t)=x_0(1-t/T_0)$ である（速度 $-x_0/T_0$ の等速運動）。Jacobi 行列式は $J=1-t/T_0$ なので、ガウス分布の幅は$\sigma_{\mathrm{cl}}(t)=\sigma_0\lvert 1-t/T_0\rvert$ で、$t=T_0$ ですべての軌道が原点で交わり、密度が発散する。$S$ も $t\to T_0$ で発散し、その先で1価の解は続かない。

(2) $\sigma^2$ を $t$ で微分すると $2\sigma\dot\sigma=-2\sigma_0^2(1-t/T_0)/T_0+\hbar^2t/(2m^2\sigma_0^2)$ で、$t=0$ で $\dot\sigma(0)=-\sigma_0/T_0$ である。$\ddot\sigma=\hbar^2/(4m^2\sigma^3)$ を満たすことは、2回微分して代入し、検算で確かめた。第2節の例題の $\tau$ を $-T_0$ に置き換えた形で、$\sigma^2=\sigma_{\mathrm{cl}}^2+(\hbar t/2m\sigma_0)^2$ と古典の幅に量子圧力の項が足されている。

(3) $\mathrm{d}\sigma^2/\mathrm{d} t=0$ から $t_*\bigl(\sigma_0^2/T_0^2+\hbar^2/(4m^2\sigma_0^2)\bigr)=\sigma_0^2/T_0$、つまり

$$t_*=\frac{T_0}{1+\varepsilon^2},\qquad \sigma_{\min}^2=\sigma_0^2\frac{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2}.$$

数値は $\varepsilon=1.0546\times10^{-34}\times0.1/(2\times1.443\times10^{-25}\times10^{-6})=3.65\times10^{-5}$ で、$t_*$ は $T_0$ と区別できず、$\sigma_{\min}=\sigma_0\varepsilon/\sqrt{1+\varepsilon^2}=36.5\,\mathrm{nm}$ である。幅 $1\,\mathrm{mm}$ の原子の集団が、古典の流れなら1点に集まる時刻に、量子の幅は $36.5\,\mathrm{nm}$ で止まる。$\varepsilon$ は端の運動量 $m\sigma_0/T_0$ と長さ $\sigma_0$ で作った $\hbar/(2pL)$ で、(7.2.3) の小さい比に当たる。

(4) 運動エネルギーの期待値は自由粒子では保存し、時刻 $0$ で $\langle \hat p^2 \rangle /2m=m\sigma_0^2/(2T_0^2)+\hbar^2/(8m\sigma_0^2)$ である（流れの分と $\int\rho Q$ の分）。時刻 $0$ の割合は

$$\frac{\hbar^2/(8m\sigma_0^2)}{m\sigma_0^2/(2T_0^2)+\hbar^2/(8m\sigma_0^2)}=\frac{\varepsilon^2}{1+\varepsilon^2}\approx1.3\times10^{-9}$$

である。$t_*$ では $\dot\sigma=0$ で流れが止まるので、全運動エネルギーが $\int\rho Q$ になり、割合は $1$ である。実際、$\varepsilon^2=\hbar^2T_0^2/(4m^2\sigma_0^4)$ を使うと

$$\frac{\hbar^2}{8m\sigma_{\min}^2}=\frac{\hbar^2(1+\varepsilon^2)}{8m\sigma_0^2\varepsilon^2}=\frac{m\sigma_0^2(1+\varepsilon^2)}{2T_0^2}$$

で、全運動エネルギーに等しい。初めは $10^{-9}$ の割合で無視できた量子ポテンシャルが、焦点では運動エネルギーのすべてを占める。第4節の調和ポテンシャルの例と同じく、焦点の近くでは $Q$ を無視できない。

(5) $x(t)=x_0+p_0t/m=x_0(1-t/T_0)+\eta t/m$ で、$x_0$ と $\eta$ が独立なので

$$\langle x(t)^2\rangle=\sigma_0^2\Bigl(1-\frac{t}{T_0}\Bigr)^2+\frac{\hbar^2}{4\sigma_0^2}\frac{t^2}{m^2}$$

となり、(2) の量子の $\sigma(t)^2$ と一致する。初めの分布は

$$f_0(x,p)=\frac{\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma_0^2)}}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_0}\cdot\frac{\mathrm{e}^{-2\sigma_0^2(p+mx/T_0)^2/\hbar^2}}{\sqrt{2\pi}\,\hbar/(2\sigma_0)} =\frac{1}{\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma_0^2)}\,\mathrm{e}^{-2\sigma_0^2(p+mx/T_0)^2/\hbar^2}$$

で、前の章の例題のチャープしたガウス波束の Wigner 関数（$c=-m/(2\hbar T_0)$ として $2\hbar c\,x=-mx/T_0$）と同じである。自由粒子では Moyal 方程式が Liouville 方程式と一致するので、この一致は偶然でなく、Wigner 関数を古典の流れで運んだ結果が厳密に量子の答えになっている。位相空間で見ると、$\psi_0$ は各点 $x$ で運動量 $-mx/T_0$ のまわりに幅 $\hbar/(2\sigma_0)$ の広がりを持つ。$Q$ を無視することはこの広がり $\eta$ を $0$ にして、分布を単一運動量の $\rho\,\delta(p+mx/T_0)$ に置き換えることで（定理 7.2.3）、そうすると全粒子が $t=T_0$ で1点に集まる。位相空間で見ると、量子圧力は各点での運動量の広がりに当たる。