橋：古典極限の3つの見方

量子力学の様々な構成方法　第7部 第2章 §7.2.5　★★★ 流体の古典極限を、位相空間の Liouville 方程式（第5部）・経路積分の停留位相（第3部）・基準の Ehrenfest の定理と並べ、単一運動量の分布の Liouville 方程式が (7.2.2) と同値であることを両向きに証明する

地図の上の位置

計画の同値性の地図（第1部第1章）で、この章は「流体 ↔ 解析力学」の橋を受け持つ。向きは2つある。流体から解析力学へは、$Q$ を無視すると量子 HJ 方程式が古典の Hamilton–Jacobi 方程式になり、その特性曲線が Hamilton 方程式の解になる（命題 7.2.2）。解析力学から流体（ひいては基準）へは、古典の Hamilton–Jacobi 方程式と連続の式の解から $\psi_{\mathrm{cl}}=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を作ると、Schrödinger 方程式の残差が $-Q\psi_{\mathrm{cl}}$ になり、本物の解との差が (7.2.6) で $\mathcal{O}(\hbar t)$ に抑えられる（命題 7.2.1）。ただしこの向きは近似の向きで、焦点より前の時刻に限られる。同じ古典極限を、ほかの部はそれぞれの言葉で出している。図 7.2.3 に3つを並べる。

第5部の言葉で：単一運動量の分布の Liouville 方程式

第5部第3章（第5部第3章）では、Wigner 関数の Moyal 方程式 $\partial_tW=\{\{H,W\}\}$ が $\hbar$ の2乗の項を無視すると古典の Liouville 方程式 $\partial_tf=\{H,f\}$ になることを示す（$H=p^2/2m+V$ では、無視するのは $V$ の3階以上の微分を含む項である）。ここで $f(x,p,t)$ は相空間の古典の分布である。Liouville 方程式は運動量に広がりを持つ一般の分布を運ぶので、(7.2.2) より多くを含む。両者の関係は次の定理にまとめられる。1次元で書くが、多次元でも同じである。

証明

$(x,p)$ の滑らかで台がコンパクトな試験関数 $\varphi$ を掛けて $p$ で積分する。$\Phi(x,t)=\varphi(x,u(x,t))$、$\Phi_x=\partial_x\varphi(x,u)$、$\Phi_p=\partial_p\varphi(x,u)$ と書く（$\Phi_x$ は1つ目の引数だけについての偏微分で、$\partial_x\Phi=\Phi_x+\Phi_p\,\partial_xu$ である）。デルタ関数の性質と部分積分から、3つの項はそれぞれ

$$\int\varphi\,\partial_tf\,\mathrm{d} p=\partial_t(\rho\Phi),\quad \int\varphi\,\frac pm\partial_xf\,\mathrm{d} p=\partial_x\Bigl(\frac{\rho u\Phi}{m}\Bigr)-\frac{\rho u}{m}\Phi_x,\quad -\int\varphi\,V'\partial_pf\,\mathrm{d} p=V'\rho\,\Phi_p$$

になる。$\partial_t(\rho\Phi)=\Phi\,\partial_t\rho+\rho\Phi_p\,\partial_tu$ と$\partial_x(\rho u\Phi/m)=\Phi\,\partial_x(\rho u)/m+(\rho u/m)(\Phi_x+\Phi_p\,\partial_xu)$ を入れて整理すると、$\Phi_x$ の項は打ち消し合い、3つの和は各点 $x$ で

$$\int\varphi\,\Bigl(\partial_tf+\frac pm\partial_xf-V'\partial_pf\Bigr)\mathrm{d} p =\Phi\Bigl[\partial_t\rho+\partial_x\Bigl(\frac{\rho u}{m}\Bigr)\Bigr]+\rho\,\Phi_p\Bigl[\partial_tu+\frac{u}{m}\partial_xu+V'\Bigr]$$

に等しい（この恒等式は具体の $\varphi$ で検算した）。よって Liouville 方程式が超関数の意味で成り立つことは

$$\int\mathrm{d} x\,\Bigl\{\Phi\,[\text{連続の式}]+\rho\,\Phi_p\,[\text{Euler}]\Bigr\}=0\qquad(\text{すべての }\varphi\text{ とすべての }t)$$

と同値である（時刻ごとに $(x,p)$ の超関数として見る）。時刻 $t_*$ を固定し、$a(x)$, $b(x)$ を台がコンパクトな滑らかな関数として$\varphi(x,p)=\bigl[a(x)+(p-u(x,t_*))\,b(x)\bigr]\chi\bigl(p-u(x,t_*)\bigr)$（$\chi$ は $0$ の近くで $1$ になる切り無視し）と選ぶと、その時刻で $\Phi=a$、$\Phi_p=b$ になり、$a$ と $b$ は独立に選べる。$\rho>0$ なので、上の式がすべての $a,b$ について成り立つことは、2つの括弧が各点で $0$ であることと同値である。逆向きは、2つの括弧が $0$ なら被積分関数が $0$ なので明らかである。

この定理から、2つの古典極限の関係が読める。純粋状態 $\psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ の Wigner 関数を各点 $x$ で $p$ の分布として見ると、平均は $\partial_xS$、分散は量子応力に比例する $\hbar^2$ の桁の量である（前の章の Wigner 関数のモーメントの式）。$\rho$ と $S$ を固定して $\hbar\to0$ とすると、分散が $0$ になり、$W$ は (7.2.15) の形の単一運動量の分布 $\rho\,\delta(p-\partial_xS)$ に近づく。そして単一運動量の分布の Liouville 方程式は、定理 7.2.3 により流体の古典極限 (7.2.2) と同じである。したがって「Moyal から $\hbar^2$ の項を無視する」と「Madelung から $Q$ を無視する」は、滑らかな純粋状態については同じ古典の流れになる。違いは混合状態と焦点の扱いにある。Liouville 方程式は運動量に広がりのある分布も運べるので、焦点を過ぎて多価になった流れも1つの $f$ として書ける。流体の2本の式はそれができない。

第3部の言葉で：停留位相と Van Vleck の密度

第3部第4章（第3部第4章）は、伝播関数の経路積分を停留位相で評価して、$\hbar\to0$ で

$$K(x,t;x_0,0)\approx\sum_{\text{古典軌道}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar}}\Bigl\lvert\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial x\,\partial x_0}\Bigr\rvert^{1/2}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}(x,t;x_0)-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\nu\Bigr)\tag{7.2.17}$$

を出す。和は $x_0$ から時刻 $t$ に $x$ へ着く古典軌道について取り、$\nu$ はその軌道が途中で通った焦点の数である。この形は J. H. Van Vleck（1928）が古典の確率と対応させる目的で導いた¹1J. H. Van Vleck (1928), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 14, 178–188.下の脚注へ閉じる。軌道が1本のとき、$\lvert K\rvert ^2$ は前因子の2乗 $\frac{1}{2\pi\hbar}\lvert \partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x\partial x_0\rvert$ である。$\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_0=-p_0$ なので、これは$\frac{1}{2\pi\hbar}\lvert \partial p_0/\partial x\rvert$、つまり「点 $x_0$ から運動量について一様な密度 $1/(2\pi\hbar)$ で出発した古典粒子の集団が、時刻 $t$ に作る位置の密度」になっている。(7.2.9) の Jacobi 行列式の式で、初めの変数を位置でなく運動量に取ったものである。

軌道が2本以上あると、(7.2.17) は各軌道の寄与を位相 $S_{\mathrm{cl}}/\hbar$ と焦点ごとの $-\pi/2$ を付けて足す。流体の2本の式に欠けていた「焦点を過ぎた先の多価の流れを位相つきで重ねる処方」は、ここにある。前因子の行列式は焦点で発散するので、焦点のすぐ近くでは (7.2.17) も使えず、Airy 関数などの一様な近似が要る（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第7章）。3つの見方は、どれも同じ古典軌道の族を使っているので、同じ点で崩れる。

基準と授業の形：Ehrenfest の定理と WKB

基準（第1部）の言葉で古典極限を言うのは Ehrenfest の定理である。Heisenberg の運動方程式（第2部第3章）の期待値を取ると

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat x \rangle =\frac{\langle \hat p \rangle }{m},\qquad \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat x) \rangle\tag{7.2.18}$$

で、これは学部の授業でも習う形である。流体の言葉では、運動量の期待値 $\int\rho\,mv\,\mathrm{d} x$ の時間変化は量子 Euler 方程式を積分したもので、量子ポテンシャルの力の寄与は $-\int\rho\,\partial_xQ\,\mathrm{d} x$ である。$\rho\,\partial_xQ$ は量子応力の発散（前の章の命題）なので、全空間で積分すると $0$ になる（ずらしたガウス分布で検算した）。つまり $Q$ は重心の運動に現れず、(7.2.18) が古典の形 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-V'(\langle \hat x \rangle )$ から外れるのは、$\langle V'(\hat x) \rangle$ と $V'(\langle \hat x \rangle )$ の差、つまり波束の広がりの中で $V'$ が変わることだけによる。$Q$ の無視は、重心でなく流れの形に関わる近似である。

WKB 近似は授業では $\psi\approx\frac{C}{\sqrt p}\exp\bigl(\pm\frac{\mathrm{i}}\hbar\int p\,\mathrm{d} x\bigr)$ と、条件 $\lvert \mathrm{d}\lambda/\mathrm{d} x\rvert \ll1$ の組で習う。第3節で見たとおり、前者は (7.2.10) と (7.2.11) の解を極形式に戻したもの、後者は無視した量子ポテンシャル (7.2.12) が運動エネルギーに比べて小さいという条件である。

1　J. H. Van Vleck (1928), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 14, 178–188.