定常な流れと WKB 近似

量子力学の様々な構成方法　第7部 第2章 §7.2.3　★★ 時間によらない流れでは、$Q$ を無視した2本の式が時間によらない Hamilton–Jacobi 方程式と $\rho\propto1/p$ になり、WKB 近似の主要項と一致する。無視した $Q$ を計算して、近似の条件を波長の変化率で書く

$S=W-Et$ と $\rho\propto1/p$

エネルギー $E$ の定常状態では、密度が時間によらず、位相が $S(\bm{r},t)=W(\bm{r})-Et$ と時間に比例して回る。(7.2.2) に入れると

$$\frac{\lvert \nabla W(\bm{r})\rvert ^2}{2m}+V=E,\qquad \nabla\cdot\bigl(\rho\,\nabla W(\bm{r})\bigr)=0\tag{7.2.10}$$

となる。1本目は時間によらない Hamilton–Jacobi 方程式で、$W(\bm{r})$ は特性関数である。1次元では $W'(x)=\pm p(x)$、$p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}$ で、2本目は $(\rho\,p)'=0$、つまり

$$\rho(x)=\frac{C}{p(x)}\tag{7.2.11}$$

になる。$\rho\,p/m$ は確率流密度なので、これは流れの量が一定であることを表す。粒子は速く動く所に短く、遅い所に長くとどまるので、密度は速さに反比例する。古典粒子が区間 $\mathrm{d} x$ に滞在する時間 $\mathrm{d} x/\lvert \dot x\rvert =m\,\mathrm{d} x/p$ に比例する確率密度と同じものである。

極形式に戻すと $\psi\approx C^{1/2}p(x)^{-1/2}\exp\bigl(\pm\tfrac{\mathrm{i}}{\hbar}\int^xp\,\mathrm{d} x'\bigr)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Et/\hbar}$ で、これは WKB 近似の主要項そのものである（WKB の展開を次数ごとに整理した扱いは 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第7章）。流体の言葉では、WKB 近似は「$Q$ を無視した定常な流れ」である。

無視した $Q$ を計算する

(7.2.11) の $\rho$ に対して、無視した量子ポテンシャルを計算すると近似の良し悪しが分かる。$\sqrt\rho\propto p^{-1/2}$ を2回微分すると$(p^{-1/2})''/p^{-1/2}=\tfrac34(p'/p)^2-\tfrac12\,p''/p$ なので

$$Q_{\mathrm{WKB}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl[\frac34\Bigl(\frac{p'}{p}\Bigr)^2-\frac12\,\frac{p''}{p}\Bigr]\tag{7.2.12}$$

である。$p$ が一定の領域（ポテンシャルが平らな所）では $Q_{\mathrm{WKB}}=0$ で、WKB は厳密な平面波になる。$Q_{\mathrm{WKB}}$ は $p$ の対数微分の2乗と2階微分で決まり、(7.2.3) の「密度の変わる長さ」$L$ は、ここでは $p$ が目立って変わる長さ $\lvert p/p'\rvert$ に当たる。

最も単純な例として一様な力 $F>0$ を受ける粒子（$V=-Fx$、$E=0$）を取ると、$x>0$ で $p=\sqrt{2mFx}$、$p'/p=1/(2x)$、$p''/p=-1/(4x^2)$ なので

$$Q_{\mathrm{WKB}}=-\frac{5\hbar^2}{32\,m\,x^2},\qquad \frac{\lvert Q_{\mathrm{WKB}}\rvert }{p^2/2m}=\frac{5\hbar^2}{32\,mFx^3}=\frac{5}{16\pi^2}\Bigl(\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} x}\Bigr)^2\tag{7.2.13}$$

となる（$\lambda=2\pi\hbar/p$。どちらの等号も検算で確かめた）。WKB 近似の条件として学部の授業で習う「波長の変化率が小さい $\lvert \mathrm{d}\lambda/\mathrm{d} x\rvert \ll1$」は、流体の言葉では「無視した量子ポテンシャルが運動エネルギーに比べて小さい」と同じことで、一様な力ではその比が $(\mathrm{d}\lambda/\mathrm{d} x)^2$ にちょうど比例する。転回点 $x\to0$ では比が $x^{-3}$ で発散し、近似は成り立たない。転回点は1次元の焦点で、(7.2.11) の密度もそこで発散する。