古典の Hamilton–Jacobi 方程式と連続の式：運動量のそろった粒子の集団

量子力学の様々な構成方法　第7部 第2章 §7.2.2　★★★ $Q$ を無視した2本の式は、各点で運動量が1つに決まった古典粒子の集団を表す。特性曲線が Hamilton 方程式の解になることと、密度が軌道の Jacobi 行列式で運ばれることを示す

特性曲線は Hamilton 方程式の解

$Q$ を無視した流れでは、速度場 $\bm{v}=\nabla S/m$ の勾配を取った Euler 方程式から圧力の項が消え、

$$\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}=-\frac{1}{m}\nabla V\tag{7.2.7}$$

が残る。左辺は流れに乗って見た加速度（物質微分）なので、これは流体の各部分が外力 $-\nabla V$ だけを受けて Newton の運動方程式に従うことを表す。圧力がないので、流体の各部分はお互いに力を及ぼさない。この流れを、互いに相互作用しない古典粒子の集団と読むことができる。次の命題がこの読み方を確かにする。

この命題から、(7.2.2) の解 $S$ が1つ与えられると、空間の各点を通る古典軌道が1本ずつ決まり、その点での運動量が $\nabla S$ で決まることが分かる。解析力学の言葉では、$S$ は相空間の中の曲面 $\{(\bm{r},\nabla S(\bm{r},t))\}$ を指定し、その曲面の上の点が Hamilton の流れで運ばれる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章）。この曲面を、運動量が位置の関数として1つに決まるという意味で、ここでは単一運動量の曲面と呼ぶ。逆向きに、軌道の族から $S$ を作ることもできる。時刻 $0$ の位相 $S_0(\bm{r}_0)$ から出発し、$\bm{r}_0$ を出て運動量 $\nabla S_0(\bm{r}_0)$ で走る軌道に沿って作用を足した$S(\bm{r},t)=S_0(\bm{r}_0)+\int_0^tL\,\mathrm{d} t'$（$\bm{r}$ は時刻 $t$ に軌道が着く点）が Hamilton–Jacobi 方程式の解になる。ただしこの構成は、時刻 $t$ に点 $\bm{r}$ に着く軌道がちょうど1本のときに限って $S$ を1価の関数として定める。

密度は軌道に運ばれる

連続の式 (7.2.2) の2本目は、流れに乗って見ると $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\rho=-\rho\,\nabla\cdot\bm{v}$ と書ける（$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}=\partial_t+\bm{v}\cdot\nabla$）。一方、時刻 $0$ に $\bm{r}_0$ を出た軌道が時刻 $t$ に着く点を $\bm{r}(\bm{r}_0,t)$ とし、Jacobi 行列式 $J(\bm{r}_0,t)=\det(\partial r_i/\partial r_{0j})$ を考えると、小さな体積の伸び率は流れの発散に等しく、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\ln J=\nabla\cdot\bm{v}$ である（流体力学の Euler の公式）。2つを合わせると $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\rho J)=0$ なので

$$\rho(\bm{r}(\bm{r}_0,t),t)=\frac{\rho_0(\bm{r}_0)}{\lvert J(\bm{r}_0,t)\rvert }\tag{7.2.9}$$

が出る。初めに体積 $\mathrm{d}^3r_0$ にあった確率 $\rho_0\,\mathrm{d}^3r_0$ が、軌道に運ばれた先の体積 $\lvert J\rvert \mathrm{d}^3r_0$ にそのまま入っている、という確率の保存である。(7.2.9) は、$J$ が $0$ になる点で $\rho$ が発散することも示している。近くの軌道どうしが交わる点で $J=0$ になるので、そこが第4節の焦点である。