この章のまとめ

(1) 式 (3.5.9) の計算で $V=-fx$ とすると、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\epsilon V(x-\eta)/\hbar}=1+\frac{\mathrm{i}\epsilon f}{\hbar}(x-\eta)+\mathcal{O}(\epsilon^2)$ である。$\eta$ の1次の項 $-\frac{\mathrm{i}\epsilon f}{\hbar}\eta$ は平均すると消えるので、$\epsilon$ の1次は $\frac{\mathrm{i}\hbar\epsilon}{2m}\psi''+\frac{\mathrm{i}\epsilon f}{\hbar}x\psi$ で、

$$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\psi}{\partial x^2}-fx\psi$$

を得る。評価点を内分点 $x-(1-\lambda)\eta$ に替えても、変わるのは平均で消える $\eta$ の1次の項の係数だけなので、結果は $\lambda$ によらない。

(2) Euler–Lagrange 方程式は $m\ddot x=f$ で、$x(0)=x_i$、$x(t)=x_f$ を満たす解は $x(s)=x_i+v_0s+\frac{fs^2}{2m}$、$v_0=\frac{x_f-x_i}{t}-\frac{ft}{2m}$ である。作用 $\int_0^t\bigl(\frac m2\dot x^2+fx\bigr)\mathrm{d} s$ を計算すると、$\frac m2\int_0^t(v_0+fs/m)^2\mathrm{d} s=\frac m2\bigl(v_0^2t+\frac{v_0ft^2}{m}+\frac{f^2t^3}{3m^2}\bigr)$、$f\int_0^tx\,\mathrm{d} s=f\bigl(x_it+\frac{v_0t^2}{2}+\frac{ft^3}{6m}\bigr)$ で、$v_0$ を入れて整理すると

$$S_{\mathrm{cl}}=\frac{m(x_f-x_i)^2}{2t}+\frac{ft(x_f+x_i)}{2}-\frac{f^2t^3}{24m}$$

となる。$K_f$ に $\mathrm{i}\hbar\partial_t$ と $-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{x_f}^2-fx_f$ を当てて比べる。$K_f=\mathcal C(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ とすると

$$\mathrm{i}\hbar\partial_tK_f=\Bigl(\mathrm{i}\hbar\frac{\mathcal C'}{\mathcal C}-\partial_tS_{\mathrm{cl}}\Bigr)K_f,\qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{x_f}^2K_f=\Bigl(\frac{(\partial_{x_f}S_{\mathrm{cl}})^2}{2m}-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}\partial_{x_f}^2S_{\mathrm{cl}}\Bigr)K_f$$

である。$\mathcal C\propto t^{-1/2}$ から $\mathrm{i}\hbar\mathcal C'/\mathcal C=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2t}$、$\partial_{x_f}^2S_{\mathrm{cl}}=m/t$ から $-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2m}\cdot\frac mt=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2t}$ で、この2つは等しい。残りは $-\partial_tS_{\mathrm{cl}}=\frac{(\partial_{x_f}S_{\mathrm{cl}})^2}{2m}-fx_f$、すなわち Hamilton–Jacobi 方程式で、$\partial_{x_f}S_{\mathrm{cl}}=\frac{m(x_f-x_i)}{t}+\frac{ft}{2}$、$\partial_tS_{\mathrm{cl}}=-\frac{m(x_f-x_i)^2}{2t^2}+\frac{f(x_f+x_i)}{2}-\frac{f^2t^2}{8m}$ を入れると両辺が一致する（$\texttt{verify\_ch3-05.py}$ で検算）。$t\to+0$ では指数の第1項が支配して $K_f$ は自由粒子の $K_0$ に近づくので、初期条件 $\delta(x_f-x_i)$ も満たす。これで $K_f$ は式 (3.5.27) の解である。作用が $x$ の2次以下なので、第3部第3章のとおり $K=F(t)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ の形が厳密で、揺らぎの因子 $F(t)$ は $V$ の1次の項によらず自由粒子と同じ $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}$ になる。

(3) $K_f(x_f;b)^*K_f(x_f;a)$ の指数は $\frac{\mathrm{i}}{\hbar}[S_{\mathrm{cl}}(x_f;a)-S_{\mathrm{cl}}(x_f;b)]$ で、$x_f^2$ の項と $\frac{ft}{2}x_f$ の項は打ち消し合い、$x_f$ について1次の項 $\frac{\mathrm{i} m(b-a)}{\hbar t}x_f$ だけが残る。$x_f$ で積分すると $\frac{2\pi\hbar t}{m}\delta(a-b)$ で、前因子 $\lvert \mathcal C\rvert ^2=\frac{m}{2\pi\hbar t}$ と合わせて $\delta(a-b)$ になる（$a=b$ の上では残りの位相は1）。式 (3.5.19) の1区間の計算と同じ構造で、作用が実数であることから有限の $t$ のユニタリ性が出ている。

(4) $V'=-f$ なので、式 (3.5.24) は $\langle p_{k+1/2} \rangle -\langle p_{k-1/2} \rangle =\epsilon f\langle 1 \rangle$ になる。規格化した平均（$\langle 1 \rangle$ で割ったもの、または始状態で平均したもの）で読むと、運動量は区間ごとに $\epsilon f$ ずつ増え、$N$ 区間で $ft$ 増える。すなわち $\langle p \rangle (t)=\langle p \rangle (0)+ft$ で、Heisenberg の運動方程式 $\dot{\hat p}_{\mathrm H}=f$ の期待値と同じである。交換関係は式 (3.5.25) の右辺の $\epsilon\langle x_kV'(x_k) \rangle =-\epsilon f\langle x_k \rangle$ が $\epsilon\to0$ で消えるので $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ のままで、$f$ によらない。交換関係は核の幅（運動エネルギーの項）だけで決まり、ポテンシャルは運動方程式の側にだけ現れる。

(5) $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(ftx)=fx+ft\dot x$ なので $\frac m2\dot x^2-ft\dot x+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(ftx)=\frac m2\dot x^2+fx=L$ である。全微分の項は作用に端の値 $ftx_f-0\cdot x_i=ftx_f$ だけを加えるので、$L'=\frac m2\dot x^2-ft\dot x$ の伝播関数 $K'$ と $K_f=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ftx_f/\hbar}K'$ の関係にある。$L'$ は場所によらないベクトルポテンシャル $a(t)=-ft$ を持つ自由粒子で、$a$ が場所によらないので $\partial_xa=0$ となり、式 (3.5.17) の評価点に依存する項は消える。対応するハミルトニアンは $(\hat p+ft)^2/(2m)$ で、$K'=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ftx_f/\hbar}K_f$ が $\mathrm{i}\hbar\partial_tK'=(\hat p+ft)^2K'/(2m)$ を満たすことも確かめられる。2つの記述の違いはゲージ変換 $\Lambda$ に当たる端の位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ftx_f/\hbar}$ だけである。

中性子では $(\hbar^2/(2m^2g))^{1/3}=\bigl(\frac{(1.055\times10^{-34})^2}{2\times(1.675\times10^{-27})^2\times9.81}\bigr)^{1/3}\,\mathrm m=5.87\,\mu\mathrm m$ で、(1) の方程式の $\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$ と $mgx$ が同じ大きさになる長さである。$t=1\,\mathrm{ms}$ の位相は $\frac{mg^2t^3}{24\hbar}=\frac{1.675\times10^{-27}\times9.81^2\times10^{-9}}{24\times1.055\times10^{-34}}=0.0637$ である。同じ時間で波数は $ft/\hbar=mg\times10^{-3}/\hbar=1.56\times10^5\,\mathrm m^{-1}$ だけ増え、これが (4) の運動量の増加を波数で書いたものである。