この章のまとめ

(1) $\left[\hat X,\,\hat P_X\right]=-(\hbar/\ell_B^2)\left[\hat X,\,\hat Y\right]=-(\hbar/\ell_B^2)(-\mathrm{i}\ell_B^2)=\mathrm{i}\hbar$。$(\hat X,\hat P_X)$ は1自由度の正準な組で、平面の上ではその並進 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat P_X/\hbar}$、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat X/\hbar}$ がすべての実数 $a,b$ で定義され、Weyl の関係を満たす正則な表現になる。1つの Landau 準位の中には $\hat X,\hat Y$ と交換する演算子がほかに無いので表現は既約で、定理 2.6.5 により Schrödinger 表現 $L^2(\mathbb{R})$ とユニタリ同値である。状態の空間は無限次元で、準位は無限に縮退している（波動関数の言葉では、$\hat X$ の固有値 $X_0$ を中心とする Landau ゲージの帯状の状態が $X_0\in\mathbb{R}$ だけある）。

(2) $\hat T_x(a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat P_X/\hbar}$ なので、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat P_X/\hbar}\hat X\mathrm{e}^{-\mathrm{i} a\hat P_X/\hbar}=\hat X+(\mathrm{i} a/\hbar)\left[\hat P_X,\,\hat X\right]=\hat X+a$（交換子が数なので級数は1次で止まる）。同様に $\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat X/\ell_B^2}\hat Y\mathrm{e}^{-\mathrm{i} b\hat X/\ell_B^2}=\hat Y+(\mathrm{i} b/\ell_B^2)\left[\hat X,\,\hat Y\right]=\hat Y+b$。指数の肩 $A=-\mathrm{i} a\hat Y/\ell_B^2$、$B'=\mathrm{i} b\hat X/\ell_B^2$ の交換子は$\left[A,\,B'\right]=(ab/\ell_B^4)\left[\hat Y,\,\hat X\right]=\mathrm{i} ab/\ell_B^2$ で、$\mathrm{e}^A\mathrm{e}^{B'}=\mathrm{e}^{B'}\mathrm{e}^A\mathrm{e}^{\left[A,\,B'\right]}$ から $\hat T_x(a)\hat T_y(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\ell_B^2}\hat T_y(b)\hat T_x(a)$。これは (2.6.10) の $U(a)V(b)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/\hbar}V(b)U(a)$ で $\hbar$ を $\ell_B^2$ に置き換えた形である。

(3) トーラスでは旋回中心を $L_x$ や $L_y$ だけずらすと同じ点に戻るので、$\hat T_x(L_x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_x}$、$\hat T_y(L_y)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_y}$（数）でなければならない。数どうしは交換するので、(2) から $\mathrm{e}^{\mathrm{i} L_xL_y/\ell_B^2}=1$、すなわち $L_xL_y/\ell_B^2\in2\pi\mathbb{Z}$、$N=L_xL_y/(2\pi\ell_B^2)$ は整数である。位相 $\theta_x,\theta_y$ は第2部第5章の $n_{\mathrm g}$ と同じ境界条件のねじれで、選び方ごとに別の表現になる。$B=1\,\mathrm T$ では $\ell_B=25.66\,\mathrm{nm}$、$eB/h=2.418\times10^{14}\,\mathrm m^{-2}$ で、$1\,\mu\mathrm m^2$ あたり $N=241.8$。整数でないので許されない。許される磁場は $h/(eL_xL_y)=4.136\,\mathrm{mT}$ の整数倍で、$1\,\mathrm T$ に最も近いのは $N=242$ の $B=1.0008\,\mathrm T$ である。

(4) $\hat T_x(a)$ が $\hat T_y(L_y)$ と交換する（境界条件を保つ）条件は $aL_y/\ell_B^2\in2\pi\mathbb{Z}$、すなわち $a\in(L_x/N)\mathbb{Z}$ で、$b$ も同様に $b\in(L_y/N)\mathbb{Z}$ である。よって両立する並進は $\hat S$ と $\hat C$ で生成される。(2) で $a=L_x/N$、$b=L_y/N$ とおくと $ab/\ell_B^2=L_xL_y/(N^2\ell_B^2)=2\pi/N$ なので $\hat S\hat C=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/N}\hat C\hat S$。さらに $\hat S^N=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_x}$、$\hat C^N=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_y}$ は数である。$\hat C$ の固有ベクトル $| k \rangle$（固有値 $c_k$）に $\hat S$ を当てると $\hat C\hat S| k \rangle =\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}/N}c_k\hat S| k \rangle$ なので、固有値は $c_k\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i} j/N}$（$j=0,\dots,N-1$）の $N$ 個が必ずそろい、それらの張る $N$ 次元の空間は $\hat S$・$\hat C$ で不変である。その上で $\hat S$ と $\hat C$ の両方と交換する行列は数だけなので（検算スクリプトで $N=3,5$ の交換子環が1次元であることを確かめた）、既約な表現は $N$ 次元である。1つの Landau 準位の状態の数は $N=q_eBL_xL_y/(2\pi\hbar)$ で、面積 $L_xL_y$ に面密度 $q_eB/(2\pi\hbar)$ を掛けたものと一致する。

(5) $N$ 次元の表現で Weyl の関係が成り立つのは、$a\in(L_x/N)\mathbb{Z}$、$b\in(L_y/N)\mathbb{Z}$ という離散的な格子の上だけである。連続な $a$ で $\hat T_x(a)$ が定義されないので、生成子 $\hat P_X$ も $\hat X$ も存在せず、トレースの議論が使う $\left[\hat X,\,\hat P_X\right]=\mathrm{i}\hbar$ はそもそも書けない（$\operatorname{tr}\hat C=0$ は $\hat S\hat C\hat S^{-1}=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/N}\hat C$ と矛盾しない）。Stone–von Neumann の定理は全部の実数 $a,b$ で Weyl の関係が成り立つ正則な表現についての主張なので、格子の上だけの表現は定理の前提の外にある。第2.6.3節の区間の運動量と同じく、配置空間が閉じると Weyl の関係が格子に制限され、表現が有限次元や $\theta$ の族に変わる。