橋：同値の地図の中の位置

量子力学の様々な構成方法　第2部 第6章 §2.6.6　★★★ この章の2つの向き（描像の変換・表現の一意性）を、基準とほかの部の言葉で並べる。どの構成が Stone–von Neumann の定理に頼っていて、どこで定理の外に出るかを示す

両向きの橋

第1部第1章の同値性の地図で、「状態ベクトル ↔ 行列力学」の橋は2本の柱でできている。基準から行列力学へは命題 2.6.2（描像の変換）で、行列力学から基準へは、Stone の定理（自己共役なハミルトニアンの選択）とStone–von Neumann の定理（交換関係の表現の一意性）と系 2.6.8（時間発展の書き直し）の3つでできている。表 2.6.1 にまとめる。

学部の授業では、この橋は次の2式で済まされることが多い。

$$\hat A_{\mathrm H}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar},\qquad \hat x\ \leftrightarrow\ x,\quad \hat p\ \leftrightarrow\ -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial x}.\tag{2.6.18}$$

左の式は命題 2.6.2 の時間に依らない場合で、指数関数の意味は Stone の定理で定まる。右の対応は「交換関係を満たす組の代表として Schrödinger の組を選ぶ」ことで、選んでよい理由が Stone–von Neumann の定理である。

定理に頼っている構成

図 2.6.3 に、Stone–von Neumann の定理が同値を保証している表示と、定理の外に出る場合を並べた。位置表示（波動関数）・運動量表示・数の表示（Heisenberg の行列）・Bargmann 表示（正則関数。第2部第4章・第10部第4章）は、どれも同じ既約な Weyl 表現を別の基底で書いたもので、定理によって互いにユニタリ同値である。位相空間の構成（第5部）の Weyl 対応は、関数 $f$ をその Fourier 係数で $W(z)$ に重ねた演算子 $\mathcal Q_{\mathrm W}[f]$ として定義する（第5部第2章）。これが表現によらずに意味をもつのも、表現が1つしかないからである。

定理の外に出る場合は3種類ある。第一に、配置空間が直線でなく区間や円のとき（第2.6.3節、Josephson 接合の $n_{\mathrm g}$、Aharonov–Bohm の磁束）で、同値でない表現が実数の族として並ぶ。第二に、自由度が無限のとき（第8部第3章）で、Gauss の重み $g$ が積分できなくなり、非同値な表現が無数に現れる。第三に、正則性を外したとき（同じく第8部第3章の注意）で、$\hat x$ や $\hat p$ がそもそも存在しない表現がある。フェルミ粒子（反交換関係）では有限個のモードの表現は行列代数の既約表現として1つに決まり（第6部第3章の Jordan–Wigner の対応）、共通例題②の2準位系（$2\times2$ 行列の代数）もこちらに入る。

図 2.6.3　Stone–von Neumann の定理が同値を保証する表示（実線の両矢印）と、定理の外に出る場合（点線）。実線の4つは同じ表現を別の基底で書いたもので、互いのユニタリ写像は Hermite 関数・コヒーレント状態・Weyl 演算子で具体的に書ける。

経路積分の側から見た交換関係

経路積分（第3部）には演算子が無く、交換関係は時間順序の積の跳びとして現れる（第3部第5章）。経路積分が計算する量は $\langle 0 | \mathcal T[\hat x_{\mathrm H}(t)\hat p_{\mathrm H}(t')] | 0 \rangle$ のような時間順序の積で、$t$ が $t'$ をまたぐと演算子の並びが入れ替わる。その跳びの大きさが $\left[\hat x,\,\hat p\right]$ である。次の例題で確かめる。経路積分の側で Schrödinger 方程式を出す議論が「交換関係の表現は Schrödinger の組」に行き着くのは、この跳びが $\mathrm{i}\hbar$ に決まっていて、かつ定理によって表現が1つしかないからである。