量子力学の様々な構成方法 第2部 第6章 §2.6.2 ★★★ 行列力学の運動方程式からユニタリな時間発展を作り直すには、ハミルトニアンが自己共役でなければならない。形式的に同じ Heisenberg 方程式でも、境界条件の違いで別の時間発展になる
Stone の定理
行列力学から基準へ戻る1つ目の問いは、交換子の形の運動方程式 A ^ ˙ = [ A ^ , H ^ ] / ( i ℏ ) \dot{\hat A}=\left[\hat A,\,\hat H\right]/(\mathrm{i}\hbar) A ^ ˙ = [ A ^ , H ^ ] / ( i ℏ ) U ^ ( t ) \hat U(t) U ^ ( t ) H ^ \hat H H ^ U ^ ( t ) = ∑ n ( − i t / ℏ ) n H ^ n / n ! \hat U(t)=\sum_n(-\mathrm{i} t/\hbar)^n\hat H^n/n! U ^ ( t ) = ∑ n ( − i t /ℏ ) n H ^ n / n ! A ^ ( t ) = U ^ † A ^ U ^ \hat A(t)=\hat U^\dagger\hat A\hat U A ^ ( t ) = U ^ † A ^ U ^ ∑ n ( i t / ℏ ) n ad H ^ n ( A ^ ) / n ! \sum_n(\mathrm{i} t/\hbar)^n\operatorname{ad}_{\hat H}^n(\hat A)/n! ∑ n ( i t /ℏ ) n ad H ^ n ( A ^ ) / n ! ad H ^ A ^ = [ H ^ , A ^ ] \operatorname{ad}_{\hat H}\hat A=\left[\hat H,\,\hat A\right] ad H ^ A ^ = [ H ^ , A ^ ] x x x p p p 第1部第2章 の Wielandt の議論）ので、振動子の H ^ \hat H H ^
定理 2.6.3（Stone の定理 ★★★）
ヒルベルト空間のユニタリ演算子の族 U ^ ( t ) \hat U(t) U ^ ( t ) t ∈ R t\in\mathbb{R} t ∈ R U ^ ( t + s ) = U ^ ( t ) U ^ ( s ) \hat U(t+s)=\hat U(t)\hat U(s) U ^ ( t + s ) = U ^ ( t ) U ^ ( s ) U ^ ( 0 ) = 1 \hat U(0)=1 U ^ ( 0 ) = 1 ψ \psi ψ t ↦ U ^ ( t ) ψ t\mapsto\hat U(t)\psi t ↦ U ^ ( t ) ψ H ^ \hat H H ^ U ^ ( t ) = e − i H ^ t / ℏ \hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} U ^ ( t ) = e − i H ^ t /ℏ H ^ \hat H H ^ lim t → 0 i ℏ ( U ^ ( t ) ψ − ψ ) / t \lim_{t\to0}\mathrm{i}\hbar(\hat U(t)\psi-\psi)/t lim t → 0 i ℏ ( U ^ ( t ) ψ − ψ ) / t ψ \psi ψ H ^ ψ \hat H\psi H ^ ψ H ^ \hat H H ^ e − i H ^ t / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} e − i H ^ t /ℏ
定理は Stone が 1930 年に予告し、1932 年に証明を出した1 1 M. H. Stone (1932), “On one-parameter unitary groups in Hilbert space”, Ann. Math. 33 , 643–648。近似の数理 第3章 ）。
定理が言っているのは、ユニタリな時間発展と自己共役なハミルトニアンが1対1に対応することである。「H ^ \hat H H ^ ⟨ ϕ , H ^ ψ ⟩ = ⟨ H ^ ϕ , ψ ⟩ \langle \phi,\,\hat H\psi\rangle =\langle \hat H\phi,\,\psi\rangle ⟨ ϕ , H ^ ψ ⟩ = ⟨ H ^ ϕ , ψ ⟩
同じ Heisenberg 方程式、別の時間発展
行列力学の運動方程式は、演算子を定義域まで決めずに形式的に書くことが多い。そのとき、上の自由度が見えなくなる。区間 ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) − ( ℏ 2 / 2 m ) d 2 / d x 2 -(\hbar^2/2m)\,\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2 − ( ℏ 2 /2 m ) d 2 / d x 2 0 0 0 [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ x ^ ˙ = p ^ / m \dot{\hat x}=\hat p/m x ^ ˙ = p ^ / m p ^ ˙ = 0 \dot{\hat p}=0 p ^ ˙ = 0
例題 2.6.2 境界条件で変わる時間発展 ★★
オリジナル 区間 ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) − ( ℏ 2 / 2 m ) d 2 / d x 2 -(\hbar^2/2m)\,\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2 − ( ℏ 2 /2 m ) d 2 / d x 2
(1) Dirichlet 条件 ψ ( 0 ) = ψ ( L ) = 0 \psi(0)=\psi(L)=0 ψ ( 0 ) = ψ ( L ) = 0 ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( L ) = 0 \psi'(0)=\psi'(L)=0 ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( L ) = 0 ψ ( 0 ) = ψ ( L ) \psi(0)=\psi(L) ψ ( 0 ) = ψ ( L ) ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( L ) \psi'(0)=\psi'(L) ψ ′ ( 0 ) = ψ ′ ( L ) (2) 電子（m = m e m=m_{\mathrm e} m = m e L = 1 n m L=1\,\mathrm{nm} L = 1 nm (3) 運動量の微分式 − i ℏ d / d x -\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x − i ℏ d / d x ( 0 , ∞ ) (0,\infty) ( 0 , ∞ ) ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) − i ℏ ψ ′ = ± i ( ℏ / ℓ ) ψ -\mathrm{i}\hbar\psi'=\pm\mathrm{i}(\hbar/\ell)\psi − i ℏ ψ ′ = ± i ( ℏ/ ℓ ) ψ ℓ > 0 \ell>0 ℓ > 0
解答 (1) Dirichlet は sin ( n π x / L ) \sin(n\pi x/L) sin ( nπ x / L ) n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … E n = n 2 π 2 ℏ 2 / ( 2 m L 2 ) E_n=n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2) E n = n 2 π 2 ℏ 2 / ( 2 m L 2 ) cos ( n π x / L ) \cos(n\pi x/L) cos ( nπ x / L ) n = 0 , 1 , … n=0,1,\dots n = 0 , 1 , … n = 0 n=0 n = 0 E = 0 E=0 E = 0 e 2 π i n x / L \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} nx/L} e 2 π i n x / L n ∈ Z n\in\mathbb{Z} n ∈ Z E n = ( 2 π n ℏ / L ) 2 / ( 2 m ) E_n=(2\pi n\hbar/L)^2/(2m) E n = ( 2 π n ℏ/ L ) 2 / ( 2 m ) n ≠ 0 n\ne0 n = 0
(2) π 2 ℏ 2 / ( 2 m e L 2 ) = 0.376 e V \pi^2\hbar^2/(2m_{\mathrm e}L^2)=0.376\,\mathrm{eV} π 2 ℏ 2 / ( 2 m e L 2 ) = 0.376 eV 0.376 e V 0.376\,\mathrm{eV} 0.376 eV 1.504 e V 1.504\,\mathrm{eV} 1.504 eV 0 0 0 0.376 e V 0.376\,\mathrm{eV} 0.376 eV 0 0 0 ( 2 π ℏ / L ) 2 / ( 2 m e ) = 1.504 e V (2\pi\hbar/L)^2/(2m_{\mathrm e})=1.504\,\mathrm{eV} ( 2 π ℏ/ L ) 2 / ( 2 m e ) = 1.504 eV 0.376 e V 0.376\,\mathrm{eV} 0.376 eV
(3) − i ℏ ψ ′ = i ( ℏ / ℓ ) ψ -\mathrm{i}\hbar\psi'=\mathrm{i}(\hbar/\ell)\psi − i ℏ ψ ′ = i ( ℏ/ ℓ ) ψ e − x / ℓ \mathrm{e}^{-x/\ell} e − x / ℓ − i ℏ ψ ′ = − i ( ℏ / ℓ ) ψ -\mathrm{i}\hbar\psi'=-\mathrm{i}(\hbar/\ell)\psi − i ℏ ψ ′ = − i ( ℏ/ ℓ ) ψ e x / ℓ \mathrm{e}^{x/\ell} e x / ℓ ( 0 , L ) (0,L) ( 0 , L ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) θ \theta θ ψ ( L ) = e i θ ψ ( 0 ) \psi(L)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\psi(0) ψ ( L ) = e i θ ψ ( 0 ) e − x / ℓ \mathrm{e}^{-x/\ell} e − x / ℓ ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) − i ℏ d / d x -\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x − i ℏ d / d x ψ ( x ) ↦ ψ ( x + a ) \psi(x)\mapsto\psi(x+a) ψ ( x ) ↦ ψ ( x + a ) x < a x<a x < a
例題の (3) の θ \theta θ 2.6.3 節で交換関係の表現が1つに決まらない例として使う。回路の Cooper 対の箱のオフセット電荷 n g n_{\mathrm g} n g 第2部第5章 ）も、円の上で同じ形の境界条件のねじれとして現れた。
運動方程式から U ^ \hat U U ^
以上から、行列力学の運動方程式を基準の時間発展へ戻す手順は次のようになる。第一に、表（あるいは交換関係の表現）の上でハミルトニアンの自己共役な拡張を1つ選ぶ。拡張がただ1つなら（本質的自己共役）選ぶ必要はない。第二に、Stone の定理で U ^ ( t ) = e − i H ^ t / ℏ \hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} U ^ ( t ) = e − i H ^ t /ℏ A ^ H ( t ) = U ^ † A ^ U ^ \hat A_{\mathrm H}(t)=\hat U^\dagger\hat A\hat U A ^ H ( t ) = U ^ † A ^ U ^ 第2部第1章 の遷移の表 x n m ( t ) = x n m e i ω n m t x_{nm}(t)=x_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t} x nm ( t ) = x nm e i ω nm t U ^ † x ^ U ^ \hat U^\dagger\hat x\hat U U ^ † x ^ U ^ ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 ( c n ) (c_n) ( c n ) ∣ ψ ( t ) ⟩ = ( c n e − i E n t / ℏ ) n | \psi(t) \rangle =(c_n\mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_nt/\hbar})_n ∣ ψ ( t )⟩ = ( c n e − i E n t /ℏ ) n ⟨ ψ ( t ) ∣ x ^ ∣ ψ ( t ) ⟩ = ∑ n , m c ˉ n c m x n m e i ω n m t = ⟨ ψ ∣ x ^ ( t ) ∣ ψ ⟩ \langle \psi(t) | \hat x | \psi(t) \rangle =\sum_{n,m}\bar c_nc_m x_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}=\langle \psi | \hat x(t) | \psi \rangle ⟨ ψ ( t ) ∣ x ^ ∣ ψ ( t )⟩ = ∑ n , m c ˉ n c m x nm e i ω nm t = ⟨ ψ ∣ x ^ ( t ) ∣ ψ ⟩ ℓ 2 \ell^2 ℓ 2 L 2 ( R ) L^2(\mathbb{R}) L 2 ( R ) 第1部第4章 で Hermite 関数を使って作った。
残る問いは、表を作るときに選んだ交換関係の表現が、本当に Schrödinger の x x x − i ℏ d / d x -\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x − i ℏ d / d x
1 M. H. Stone (1932), “On one-parameter unitary groups in Hilbert space”, Ann. Math. 33 , 643–648。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
