経路の空間での停留：古典軌道が選ばれる

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.2　★★★ 時間分割した作用の停留条件は離散の Newton 方程式で、$N\to\infty$ で Euler–Lagrange 方程式になる

停留条件は離散の Newton 方程式

式 (3.4.1) の積分変数は中間の位置 $x_1,\dots,x_{N-1}$ で、位相は $S_N/\hbar$ である。多変数の停留位相 (3.4.6) を当てるには、まず停留点を求める。$x_k$（$1\le k\le N-1$）を含むのは $S_N$ の第 $k-1$ 項と第 $k$ 項だけなので

$$\frac{\partial S_N}{\partial x_k}=\frac{m}{\epsilon}(2x_k-x_{k+1}-x_{k-1})-\epsilon V'(x_k)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad m\,\frac{x_{k+1}-2x_k+x_{k-1}}{\epsilon^2}=-V'(x_k)\tag{3.4.7}$$

である。右の式は Newton 方程式 $m\ddot x=-V'(x)$ の2階微分を差分にしたもので、両端 $x_0=x_i$、$x_N=x_f$ を固定した境界値問題になっている。$N\to\infty$ でこれは端を固定した Euler–Lagrange 方程式、すなわち作用の停留条件 $\delta S=0$ に移る（解析力学の側の導出は 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第4章）。したがって、$\hbar\to0$ で式 (3.4.1) に寄与するのは、時刻 $0$ に $x_i$ を出て時刻 $t$ に $x_f$ に着く古典軌道 $x_{\mathrm{cl}}(s)$ の近くの経路だけである。停留点での位相は古典軌道の作用 $S_{\mathrm{cl}}(x_f,t;x_i)=S[x_{\mathrm{cl}}]$ になる。

古典軌道は1本とは限らない。端の値を与える境界値問題には、解が無いことも、複数あることもある（調和振動子で $\omega t=\pi$ なら $x_f=-x_i$ のときだけ解があり、そのとき無数にある）。停留点が複数あれば、式 (3.4.5) と同じく寄与を位相つきで足す。これが第3部第1章の「全経路の和」が $\hbar\to0$ で「古典軌道の和」に縮む仕組みである。

寄与する経路の幅

停留点のまわりで寄与する経路の幅は、1変数の場合の $\sqrt{\hbar/\lvert \varphi''\rvert }$ に当たる。自由粒子で古典軌道から $\eta(s)=a\sin(\pi s/t)$ だけずらした経路の作用の増分は、$\frac m2\int_0^t\dot\eta^2\mathrm{d} s=\frac{m\pi^2a^2}{4t}$ である（端は固定したまま、1次の変化は停留性で消える）。この増分が $\hbar$ の程度になる振幅は

$$a\sim\sqrt{\frac{\hbar t}{m}}\tag{3.4.8}$$

で、これより大きくずれた経路は打ち消し合う。$\sqrt{\hbar t/m}$ が系の大きさに比べて小さいこと、あるいは同じことだが作用 $S_{\mathrm{cl}}$ が $\hbar$ に比べて大きいことが、古典極限の条件である。