揺らぎの行列式と Van Vleck の公式

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.3　★★★ 停留点のまわりの Gauss 積分の行列式は Jacobi 方程式の解で書け、前因子は古典軌道の束の広がりになる

停留点のまわりの Gauss 積分

古典軌道の離散版 $\bar x_k$ のまわりに $x_k=\bar x_k+\eta_k$（$\eta_0=\eta_N=0$）と展開する。1次の項は停留性で消え、2次の項は Hessian

$$\frac{\partial^2S_N}{\partial x_j\partial x_k}=\frac m\epsilon M_{jk},\qquad M=\begin{pmatrix}c_1&-1&&\\-1&c_2&\ddots&\\&\ddots&\ddots&-1\\&&-1&c_{N-1}\end{pmatrix},\qquad c_k=2-\frac{\epsilon^2}{m}V''(\bar x_k)\tag{3.4.9}$$

で決まる。式 (3.4.8) の見積もりどおり $\eta_k$ は $\sqrt\hbar$ の大きさなので、3次以上の項は $\hbar\to0$ で落とせる。$M$ の負の固有値の数を $n_-$ とし、$(N-1)$ 変数の Fresnel 積分 (3.4.6)（符号数 $N-1-2n_-$）を使うと

$$\int\mathrm{d}^{N-1}\eta\,\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}\frac m\epsilon\,\eta^{\mathsf T}M\eta\Bigr)=\Bigl(\frac{2\pi\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^{(N-1)/2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi(N-1-2n_-)/4}}{\lvert \det M\rvert ^{1/2}} =\Bigl(\frac{2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon}{m}\Bigr)^{(N-1)/2}\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi n_-/2}}{\lvert \det M\rvert ^{1/2}}$$

である。式 (3.4.1) の前因子 $(m/(2\pi\mathrm{i}\hbar\epsilon))^{N/2}$ を掛けると、$\epsilon$ のべきが1つだけ残り

$$K(x_f,t;x_i,0)\approx\sqrt{\frac{m}{2\pi\mathrm{i}\hbar\,\lvert \epsilon D_{N-1}\rvert }}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar-\mathrm{i}\pi n_-/2},\qquad D_{N-1}=\det M\tag{3.4.10}$$

となる。あとは $N\to\infty$ で $\epsilon D_{N-1}$ が何に近づくかを調べればよい。調和振動子については第3部第3章（第3部第3章）で $\epsilon D_{N-1}\to\sin\omega t/\omega$ を示した。ここでは一般の $V$ で同じことを行う。

行列式の漸化式と Jacobi 方程式

$M$ の左上の $k\times k$ 部分の行列式を $D_k$ と書く（$D_0=1$、$D_{-1}=0$）。3重対角行列の行列式を最後の行で展開すると

$$D_k=c_kD_{k-1}-D_{k-2}\tag{3.4.11}$$

である。$f_k=\epsilon D_{k-1}$ とおくと、$f_0=0$、$f_1=\epsilon$ で、漸化式は

$$\frac{f_{k+1}-2f_k+f_{k-1}}{\epsilon^2}=-\frac{V''(\bar x_k)}{m}f_k$$

と書ける。これは微分方程式の差分で、$N\to\infty$ で $f_k\to f(k\epsilon)$ とすると

$$m\ddot f(s)=-V''\bigl(x_{\mathrm{cl}}(s)\bigr)f(s),\qquad f(0)=0,\quad \dot f(0)=1\tag{3.4.12}$$

の解に収束する。式 (3.4.10) の $\epsilon D_{N-1}$ は $f_N\to f(t)$ である。行列式を2階の常微分方程式の初期値問題に置き換えるこの方法は Gel'fand と Yaglom による¹1I. M. Gel'fand and A. M. Yaglom (1960), J. Math. Phys. 1, 48–69（原論文はロシア語で Uspekhi Mat. Nauk 11 (1956), 77–114）。下の脚注へ閉じる。

式 (3.4.12) は、Newton 方程式 $m\ddot x=-V'(x)$ を古典軌道のまわりで1次まで線形化したもの（Jacobi 方程式）である。始点 $x_i$ を固定し、初速度 $v_i$ だけを変えた古典軌道の族 $x(s;v_i)$ を考え、Newton 方程式を $v_i$ で微分すると、$\partial x/\partial v_i$ が式 (3.4.12) と同じ方程式と同じ初期条件 $\partial x(0)/\partial v_i=0$、$\partial\dot x(0)/\partial v_i=1$ を満たす。解は一意なので

$$f(t)=\frac{\partial x_f}{\partial v_i}=m\frac{\partial x_f}{\partial p_i}\qquad(x_i,\ t\ \text{を固定})\tag{3.4.13}$$

である。$f(t)$ は、始点の速度を少し変えたときに終点がどれだけ動くか、つまり始点から扇状に出た古典軌道の束が時刻 $t$ にどれだけ広がっているかを表す。

前因子を作用で書く

始点の運動量は主関数の微分 $p_i=-\partial S_{\mathrm{cl}}/\partial x_i$ で与えられる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章）。これを $x_f$ で微分すると$-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f\partial x_i=\partial p_i/\partial x_f=m/f(t)$ なので、式 (3.4.10) は

$$K(x_f,t;x_i,0)\approx\sum_{\text{古典軌道}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar}}\Bigl\lvert\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial x_f\,\partial x_i}\Bigr\rvert^{1/2} \exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}(x_f,t;x_i)-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\nu\Bigr)\tag{3.4.14}$$

になる。$\nu=n_-$ で、3.4.4節で古典軌道が通った焦点の数に等しいことを示す。これが Van Vleck の公式で、J. H. Van Vleck が1928年に古典の確率との対応を調べる目的で前因子の行列式を導入した²2J. H. Van Vleck (1928), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 14, 178–188。経路積分の停留位相としての導出は C. Morette (1951), Phys. Rev. 81, 848–852。下の脚注へ閉じる。第7部第2章（第7部第2章）が流体の古典極限と比べるために引いた式は、この式で $x_f=x$、$x_i=x_0$ と書いたものである。

$d$ 次元では、$\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f\partial x_i$ が $d\times d$ 行列になり、同じ計算で

$$K(\bm{x}_f,t;\bm{x}_i,0)\approx\sum_{\text{古典軌道}}\frac{1}{(2\pi\mathrm{i}\hbar)^{d/2}}\Bigl\lvert\det\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}}{\partial\bm{x}_f\,\partial\bm{x}_i}\Bigr\rvert^{1/2} \exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}S_{\mathrm{cl}}-\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\nu\Bigr)\tag{3.4.15}$$

を得る（$\nu$ は焦点を重複度つきで数えた数）。行列式 $\det(-\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial\bm{x}_f\partial\bm{x}_i)$ を Van Vleck の行列式と呼ぶ。

作用が $x$ の2次式で書ける系（自由粒子・一様な力・調和振動子）では、展開の3次以上の項がはじめから無いので、式 (3.4.14) は等号になる。自由粒子では $V''=0$ で $f(t)=t$、$\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x_f\partial x_i=-m/t$ となり、共通例題③の伝播関数 $\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\exp(\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2/(2\hbar t))$ がそのまま出る。

2次式でない例として、$m=1$、$V=x^4/4$（無次元の単位）で $x_i=0$、$v_i=1$ の軌道を数値で解くと、$t=2$ で $x_f=1.036$ に着き、Jacobi 方程式 (3.4.12) の解は $f(2)=-0.1329$ である。初速度を $\pm10^{-6}$ ずらした2本の軌道の差から求めた $\partial x_f/\partial v_i$ も $-0.1329$ で一致し、$N=4000$ の漸化式 (3.4.11) から求めた $\epsilon D_{N-1}$ も同じ値になる。$f(2)<0$ なので、この軌道は時刻 2 までに焦点を1つ通っており、式 (3.4.14) には $\nu=1$ の位相 $-\pi/2$ が付く。

1　I. M. Gel'fand and A. M. Yaglom (1960), J. Math. Phys. 1, 48–69（原論文はロシア語で Uspekhi Mat. Nauk 11 (1956), 77–114）。

2　J. H. Van Vleck (1928), Proc. Natl. Acad. Sci. USA 14, 178–188。経路積分の停留位相としての導出は C. Morette (1951), Phys. Rev. 81, 848–852。