焦点を越える・複数の古典軌道を足す

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.4　★★★ 焦点を1つ越えるたびに Hessian の固有値が1つ負になり、位相が $\pi/2$ ずれる。軌道が複数あれば位相つきで足す

焦点の位相 $-\pi/2$

$f(s)=0$ となる時刻 $s=t_c$ を、始点 $x_i$ の焦点（共役点）と呼ぶ。式 (3.4.13) から、そこでは初速度を少し変えても終点が1次で動かない。始点から扇状に出た古典軌道の束が、1点に集まっている。図 3.4.4 は調和振動子の例で、$x_i$ を初速度だけ変えて出た軌道は、半周期 $\omega t=\pi$ ごとに $-x_i$ と $x_i$ に集まる。

図 3.4.4　調和振動子で $x_i=1$ から初速度だけ変えて出た古典軌道 $x=\cos\omega s+(v_i/\omega)\sin\omega s$。$\omega s=\pi$ で全部が $x=-1$ に、$2\pi$ で $x=1$ に集まる。$\omega t$ が $\pi$ と $2\pi$ のあいだの終点 $x_f$ へ着く軌道は、焦点を1つ通っている。

焦点を越えると式 (3.4.10) の位相が変わる理由を示す。$\epsilon D_{N-1}=f_N$ は $t$ の連続関数で、焦点 $t=t_c$ で 0 を通って符号を変える。$\det M$ は固有値の積なので、符号が変わるのは固有値の1つが 0 を通って負になるときである。$M$ が3重対角で非対角成分が 0 でないことから、左上の小行列式の列 $D_0,D_1,\dots,D_{N-1}$ の符号の変化の回数が負の固有値の数 $n_-$ に等しい（Sturm の定理）。$N\to\infty$ でこの回数は $f(s)$ が $0<s<t$ で 0 になる回数、すなわち通った焦点の数 $\nu$ に移る。負の固有値を持つ方向では、Fresnel 積分 (3.4.3) の位相が $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\pi/4}$ から $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}$ に変わり、その比が $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}$ である。焦点を1つ越えるたびに経路の束の向きが表と裏で入れ替わり、Gauss 積分の1方向が「上に凸」から「下に凸」へ変わるので、位相が $\pi/2$ 遅れる。

調和振動子では $V''=m\omega^2$ で $f=\sin\omega t/\omega$ なので、$\nu=\lfloor\omega t/\pi\rfloor$ である（$N=600$ の $M$ の負の固有値を数えて、$\omega t=0.5,\,2,\,3.5,\,5,\,7,\,10$ で一致を確かめた）。共通例題①の Mehler 核 $\sqrt{m\omega/(2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t)}\exp\{\cdots\}$ は $0<\omega t<\pi$ で書かれた形で、これを $t$ の関数として下半平面から（$t\to t-\mathrm{i}0$）連続につなぐと、平方根の位相は $\omega t=\pi$ を越えるごとに $-\pi/2$ ずつ進み、ちょうど式 (3.4.14) の $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi\nu/2}$ になる。焦点の上 $\omega t=\pi$ では、前因子が発散する代わりに $K=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}\delta(x_f+x_i)$ となる（第3部第3章）。焦点のすぐ近くでは $\eta$ の3次の項が落とせなくなり、式 (3.4.14) は使えない。そこでは Airy 関数などの一様な近似が要る（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第7章）。

複数の古典軌道の干渉

始点と終点を結ぶ古典軌道が複数あるとき、式 (3.4.14) はそれぞれの寄与を位相 $S_{\mathrm{cl}}/\hbar-\pi\nu/2$ つきで足す。$\lvert K\rvert ^2$ には軌道どうしの干渉項が現れる。これは、二重スリットの縞（第3部第1章）の、外から置いたスリットでなく古典力学そのものが複数の経路を与える場合の姿である。輪の上の自由粒子で巻き数の違う軌道を足した例は第3部第2章にある。次の例題は、硬い壁で跳ね返る軌道を足す。