Hamilton–Jacobi 方程式と WKB へ

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.5　★★★ Van Vleck の公式の位相は Hamilton–Jacobi 方程式を、前因子の2乗は連続の式を満たす。時間の Fourier 変換で WKB の振幅 $1/\sqrt p$ が出る

$A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を Schrödinger 方程式に入れる

Van Vleck の公式 (3.4.14) は、軌道が1本の所では $A(x,t)\mathrm{e}^{\mathrm{i} S(x,t)/\hbar}$ の形をしている（$x=x_f$、始点 $x_i$ は固定）。この形の関数を Schrödinger 方程式に入れて $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ で割ると

$$\begin{split} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} S/\hbar}\Bigl(\mathrm{i}\hbar\partial_t+\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2-V\Bigr)\bigl(A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}\bigr) =&-A\Bigl(\partial_tS+\frac{(\partial_xS)^2}{2m}+V\Bigr)\\ &+\frac{\mathrm{i}\hbar}{2A}\Bigl(\partial_t(A^2)+\partial_x\Bigl(A^2\frac{\partial_xS}{m}\Bigr)\Bigr)+\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2A \end{split}\tag{3.4.16}$$

となる。$\hbar$ の次数ごとに 0 とおくと、$\hbar^0$ の次数が Hamilton–Jacobi 方程式

$$\partial_tS+\frac{(\partial_xS)^2}{2m}+V(x)=0\tag{3.4.17}$$

で、$\hbar^1$ の次数が $\rho=\lvert A\rvert ^2$、$v=\partial_xS/m$ についての連続の式（輸送方程式）

$$\partial_t(A^2)+\partial_x\bigl(A^2v\bigr)=0\tag{3.4.18}$$

である。残る $\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2A$ が、この2つを満たす $A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ を厳密な解からずらす唯一の項になる。

Van Vleck の公式は2つの式を満たす

古典軌道の作用 $S_{\mathrm{cl}}(x,t;x_i)$ を終点 $x$ と $t$ の関数とみると、$\partial_xS_{\mathrm{cl}}=p$（終点の運動量）、$\partial_tS_{\mathrm{cl}}=-E$ で、式 (3.4.17) を満たす（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第13章）。前因子についても次が成り立つ。

証明

Hamilton–Jacobi 方程式 (3.4.17) の $V(x)$ は始点 $x_i$ によらないので、両辺を $x_i$ で微分すると$\partial_t(\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})+\frac{1}{m}\partial_xS_{\mathrm{cl}}\,\partial_x\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}}=0$、すなわち $\partial_t(\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})+v\,\partial_x(\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})=0$ である。これをさらに $x$ で微分すると $\partial_t(\partial_x\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})+\partial_x(v\,\partial_x\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})=0$ となり、$-1$ を掛けて主張を得る。

最初の式 $\partial_t(\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})+v\partial_x(\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}})=0$ は、始点の運動量 $p_i=-\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}}$ が流れに沿って変わらないことを言っている。1本の軌道は自分の始点の運動量を運び続けるので、これは当然である。$\mathcal D=\partial p_i/\partial x$ は「終点の単位長さあたりに入っている始点の運動量の幅」で、その連続の式は、運動量について一様に出発した古典粒子の数の保存である。

この命題から、Van Vleck の公式 $K_{\mathrm{VV}}=A\mathrm{e}^{\mathrm{i} S_{\mathrm{cl}}/\hbar}$ は、式 (3.4.16) の右辺の第1項と第2項を 0 にし、

$$\Bigl(\mathrm{i}\hbar\partial_t+\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2-V\Bigr)K_{\mathrm{VV}}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial_x^2A}{A}\,K_{\mathrm{VV}}\tag{3.4.19}$$

を満たす。右辺の係数 $-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2A/A$ は、$\lvert A\rvert =\sqrt\rho$ のときの Madelung の量子ポテンシャル $Q$ である（第7部第1章）。作用が2次式の系では $A$ が $x$ によらず、右辺は 0 になる。3.4.3節の例題で逆さの振動子の $K$ が厳密だったのはこのためで、調和振動子と一様な力でも同じことを verify で確かめた。

時間の Fourier 変換：エネルギーの表示へ

学部の授業で習う WKB 近似はエネルギーを決めた定常状態の近似なので、時間を消してエネルギーの表示に移る。伝播関数を時間について Fourier 変換した

$$G(x,x_i;E)=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int_0^\infty\mathrm{d} t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E+\mathrm{i}0)t/\hbar}K(x,t;x_i,0)=\langle x | (E-\hat H+\mathrm{i}0)^{-1} | x_i \rangle\tag{3.4.20}$$

を Green 関数と呼ぶ（右の等号は $\frac1{\mathrm{i}\hbar}\int_0^\infty\mathrm{e}^{\mathrm{i}(E-\hat H+\mathrm{i}0)t/\hbar}\mathrm{d} t=(E-\hat H+\mathrm{i}0)^{-1}$ による）。$\hbar\to0$ では、$K$ に Van Vleck の公式を入れ、$t$ の積分も停留位相で行う。位相は $\Phi(t)=S_{\mathrm{cl}}(x,t;x_i)+Et$ で、停留条件 $\partial_tS_{\mathrm{cl}}+E=0$ は「エネルギーがちょうど $E$ の古典軌道を選べ」という条件である。停留点の値は

$$W(x,x_i;E)=S_{\mathrm{cl}}+Et=\int_{x_i}^xp(x')\,\mathrm{d} x',\qquad p(x)=\sqrt{2m(E-V(x))}\tag{3.4.21}$$

で、Hamilton の特性関数（時間を Legendre 変換で消した作用）になる（転回点を通らない軌道の場合）。

前因子を計算する。$t$ の積分の停留位相から $\sqrt{2\pi\mathrm{i}\hbar/\partial_t^2S_{\mathrm{cl}}}$ が出る（$\partial_t^2S_{\mathrm{cl}}>0$ の場合）ので、$G\approx\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\bigl\lvert\partial_x\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}}/\partial_t^2S_{\mathrm{cl}}\bigr\rvert^{1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} W/\hbar}$ である。比の計算には、$t=\partial W/\partial E$（固定した $x,x_i$）を使う。$\partial_tS_{\mathrm{cl}}=-E(t)$ を $t$ で微分して $\partial_t^2S_{\mathrm{cl}}=-\partial E/\partial t=-1/W_{EE}$（$W_{EE}=\partial^2W/\partial E^2$）。また $\partial_xS_{\mathrm{cl}}=p(x;E(t))=\partial_xW$ を $x_i$ で微分すると、1次元では $\partial_x\partial_{x_i}W=0$ なので $\partial_x\partial_{x_i}S_{\mathrm{cl}}=\frac{\partial^2W}{\partial x\partial E}\frac{\partial E}{\partial x_i}$ で、$\frac{\partial^2W}{\partial x\partial E}=\frac1v$、$t=W_E$ を $x_i$ で微分した $0=\partial_{x_i}W_E+W_{EE}\,\partial_{x_i}E$ と $\partial_{x_i}W_E=-1/v_i$ から $\partial_{x_i}E=1/(v_iW_{EE})$ となる。まとめて

$$\frac{\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial x\partial x_i}{\partial^2S_{\mathrm{cl}}/\partial t^2}=-\frac{1}{vv_i}\tag{3.4.22}$$

である（$v=p/m$、$v_i=p(x_i)/m$）。したがって

$$G(x,x_i;E)\approx\frac{m}{\mathrm{i}\hbar\sqrt{p(x)p(x_i)}}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_{x_i}^xp(x')\,\mathrm{d} x'\Bigr)\qquad(x>x_i)\tag{3.4.23}$$

を得る。$x$ の関数として見ると、これは学部の WKB 近似の波 $\frac{C}{\sqrt{p(x)}}\exp(\frac{\mathrm{i}}\hbar\int^xp\,\mathrm{d} x')$ そのものである。振幅 $1/\sqrt p$ は、Van Vleck の前因子（軌道の束の広がり）をエネルギーの表示に書き直したもので、古典粒子がその場所に滞在する時間 $\propto1/v$ の平方根に当たる。

自由粒子では $p$ が一定で、式 (3.4.23) は $\frac{m}{\mathrm{i}\hbar p}\mathrm{e}^{\mathrm{i} p\lvert x-x_i\rvert /\hbar}$ となる。これは自由粒子の厳密な Green 関数と一致する。エネルギーが離散になる束縛状態は、同じ点に戻る閉じた軌道を全部足して $G$ の極を探すことで得られ、Bohr–Sommerfeld の条件が出る。その計算は解析力学の巻（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第7章）と第10部第5章（第10部第5章）に送る。この章では総合問題で、調和振動子の跡から準位を読む。