橋：古典極限を各構成の言葉で

量子力学の様々な構成方法　第3部 第4章 §3.4.6　★★★ 停留位相の結果と、基準の Schrödinger 方程式の WKB 解が一致することを両向きに示し、流体・位相空間・行列力学の古典極限と並べる

基準との両向き

この章の結果は、計画の同値性の地図では「経路積分」から「解析力学（古典）」へ伸びる矢印に当たる。同じ矢印を基準（第1部）から引くこともでき、両者が一致することを示す。

経路積分の側では「揺らぎの Gauss 積分の行列式」として、基準の側では「確率の流れの保存」として、同じ前因子が出る。どちらの側でも、$\hbar$ を落とした式を解く手続きは古典軌道を求めることに帰着する。

流体の言葉で（第7部第2章）

第7部第1章の Madelung 変換 $\psi=\sqrt\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ は、Schrödinger 方程式を連続の式と量子ポテンシャル $Q=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2\sqrt\rho/\sqrt\rho$ つきの量子 Hamilton–Jacobi 方程式 $\partial_tS+\frac{(\partial_xS)^2}{2m}+V+Q=0$ に厳密に書き直す。式 (3.4.16) と比べると、$A=\sqrt\rho$（実数）と置いたときの右辺の第3項が $-QA$ そのものである。したがって第7部第2章（第7部第2章）の「$Q$ を落とした流体」は、この章の式 (3.4.17) と (3.4.18) と同じ2本の式で、$\lvert K_{\mathrm{VV}}\rvert ^2=\lvert \mathcal D\rvert /(2\pi\hbar)$ はその流体の密度、つまり点 $x_i$ から運動量について一様に出発した古典粒子の集団の密度である。

違いは軌道が複数あるときに出る。経路積分は3.4.4節のとおり各軌道の寄与を位相つきで足すが、流体は各点に速度を1つしか持てない。2本の軌道の重ね合わせを流体として書き直すと、次の例題のとおり $Q$ は $\hbar\to0$ でも小さくならない。

位相空間・行列力学・授業の形

位相空間の構成（第5部）では、Wigner 関数の時間発展は Moyal 方程式で、$\hbar\to0$ で Liouville 方程式になる（第5部第3章）。単一運動量の分布 $\rho(x)\delta(p-\partial_xS)$ の Liouville 方程式が、この章の2本の式 (3.4.17)・(3.4.18) と同値であることは第7部第2章で示されている。行列力学（第2部）では、Heisenberg の運動方程式の期待値が Ehrenfest の定理 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat x \rangle =\langle \hat p \rangle /m$、$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\langle \hat p \rangle =-\langle V'(\hat x) \rangle$ を与え（第2部第3章）、波束の幅の中で $V'$ が変わらない限り重心が古典軌道を描く。

学部の授業では、WKB 近似を $\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sigma/\hbar}$ と置いて $\sigma$ を $\hbar$ で展開する形で習う。最低次が時間によらない Hamilton–Jacobi 方程式 $(\sigma_0')^2/(2m)+V=E$、次の次数が $\sigma_1=\frac{\mathrm{i}}2\ln p$ で、$\psi\approx\frac{C}{\sqrt p}\exp(\pm\frac{\mathrm{i}}\hbar\int p\,\mathrm{d} x)$ となる。式 (3.4.23) はこの形の解のうち、点源 $x_i$ から外へ向かう枝 $+$ を選び、係数 $C$ まで決めたものになっている。授業で「古典の経路が主に寄与する」と言葉で述べられる経路積分の性質は、この章の式 (3.4.14) として係数まで決まる。