この章のまとめ

(1) $H(\bar\alpha,\alpha)=\hbar\omega\bar\alpha\alpha+\hbar f(\bar\alpha+\alpha)$ なので $\mathrm{i}\hbar\dot\alpha=\partial H/\partial\bar\alpha=\hbar\omega\alpha+\hbar f$、すなわち $\dot\alpha=-\mathrm{i}\omega\alpha-\mathrm{i} f$ である。定常解 $-f/\omega$ のまわりを角振動数 $\omega$ で回る解で、$\alpha(0)=0$ から

$$\alpha(t)=\frac f\omega\bigl(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}-1\bigr)$$

を得る。$\omega t=\pi$ で $\alpha=-2f/\omega=-1$ である。この式は Heisenberg 方程式 $\mathrm{i}\hbar\dot{\hat a}=\left[\hat a,\,\hat H\right]=\hbar\omega\hat a+\hbar f$ の期待値と同じで、方程式が線形なので停留点が期待値を厳密に与える。

(2) $\hat H$ は $\hat a^\dagger$, $\hat a$ の2次以下なので、時間分割の積分は Gauss 積分で、例題 6.6.2 と同じく停留点の値で厳密に決まる。Heisenberg 描像で $\hat a_{\mathrm H}(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\hat a+\alpha(t)$ だから、真空 $| 0 \rangle$ の上で $\hat a_{\mathrm H}(t)$ を当てると $\alpha(t)$ を掛けることになり、Schrödinger 描像の状態 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}| 0 \rangle$ は $\hat a$ の固有値 $\alpha(t)$ の固有状態、すなわちコヒーレント状態 $| \alpha(t) \rangle$（全体の位相を除く）である。平均の量子数は $\lvert \alpha(t)\rvert ^2=(4f^2/\omega^2)\sin^2(\omega t/2)$ で、$\omega t=\pi$ では $1$。Poisson 分布なので量子数 0 の確率は $\mathrm{e}^{-1}=0.368$ である（verify_ch6-06.py で行列の時間発展と照合した）。

(3) 虚時間の作用は $S_{\mathrm E}/\hbar=\int_0^{\beta\hbar}[\bar\alpha\partial_\tau\alpha+\omega\bar\alpha\alpha+f(\bar\alpha+\alpha)]\mathrm{d}\tau$ で、Matsubara 成分のうち外力と結びつくのは $\tau$ によらない $n=0$ 成分だけである。$\alpha\to\alpha-f/\omega$、$\bar\alpha\to\bar\alpha-f/\omega$ とずらすと $\omega\bar\alpha\alpha+f(\bar\alpha+\alpha)=\omega\bar\alpha\alpha-f^2/\omega$ になり、$\partial_\tau$ の項は定数のずれで変わらない。周期の境界も保たれる。したがって $S_{\mathrm E}/\hbar$ は 6.6.3節の振動子の作用から $\beta\hbar f^2/\omega$ を引いたもので、

$$Z=\frac{\mathrm{e}^{\beta\hbar f^2/\omega}}{1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}}$$

である。これは $\hat b=\hat a+f/\omega$ と書けば $\hat H=\hbar\omega\hat b^\dagger\hat b-\hbar f^2/\omega$ で、スペクトルが $\hbar\omega n-\hbar f^2/\omega$ であることと一致する。$\beta\hbar\omega=1$、$f/\omega=0.5$ では $\beta\hbar f^2/\omega=0.25$ で、$Z=\mathrm{e}^{0.25}/(1-\mathrm{e}^{-1})=2.0313$ になる。

(4) 熱平衡の状態は $\hat b$ の振動子の熱平衡で、$\langle \hat b^\dagger\hat b \rangle =1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$、$\langle \hat b \rangle =0$ である。$\hat a=\hat b-f/\omega$ を入れると

$$\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\frac1{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}+\frac{f^2}{\omega^2}=0.5820+0.25=0.8320\qquad(\beta\hbar\omega=1)$$

である。第1項は $\mu=0$ の Bose 分布（共通例題①の $\langle n \rangle$）で、第2項は外力がずらした平衡点 $\langle \hat a \rangle =-f/\omega$ の2乗である。経路積分の言葉では、第2項は停留点（重心のずれ）の寄与、第1項は停留点のまわりの揺らぎの行列式の寄与である。熱的な揺らぎと、コヒーレントなずれ（古典の場）が足し算で分かれるのは、ハミルトニアンが2次だからである。

(5) $\ell=\sqrt{\hbar/(m\omega)}$ として $\hbar\omega\lvert \alpha\rvert ^2=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2x^2$、$\hbar f(\alpha+\alpha^*)=\sqrt2\hbar fx/\ell$ なので

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac12m\omega^2x^2+Fx,\qquad F=\frac{\sqrt2\hbar f}{\ell}=\sqrt{2\hbar m\omega}\,f$$

で、一定の力 $-F$ を受ける振動子である（verify_ch6-06.py で sympy により確かめた）。例題 6.6.7 の (2) により、コヒーレント状態の経路積分の作用はこの $H$ の相空間の作用と境界の項だけ違う。位置の経路積分（第3部第2章）で解けば強制振動子の核になり、(1) の $\alpha(t)$ の実部と虚部は、平衡点 $-F/(m\omega^2)$ のまわりを回る古典の $x(t)$, $p(t)$ を $\ell$ と $\hbar/\ell$ で測ったものである。同じ問題を、粒子数の言葉（コヒーレント状態・Poisson 分布）と位置の言葉（ずれた平衡点のまわりの振動）の両方で読めることが、この章の橋の中身である。