熱平衡：Matsubara 和で Bose 分布、Grassmann 数で Fermi 分布

量子力学の様々な構成方法　第6部 第6章 §6.6.5　★★★ 大分配関数は周期の境界のボースの経路積分、反周期の境界の Grassmann 数の経路積分で書け、行列式の展開の項が虚時間の円を巻く回数を数える

ボース粒子の大分配関数

第6部第5章の大正準の状態 $\mathrm{e}^{-\beta(\hat H-\mu\hat N)}/\Xi$ で、自由なボース粒子 $\hat H-\mu\hat N=\sum_\alpha\xi_\alpha\hat a_\alpha^\dagger\hat a_\alpha$（$\xi_\alpha=\varepsilon _\alpha-\mu>0$）を考える。モードごとに 6.6.3節の計算をそのまま当て、$\hbar\omega$ を $\xi_\alpha$ に替えると

$$\Xi=\oint\mathcal D\bar\alpha\,\mathcal D\alpha\;\exp\Bigl\{-\frac1\hbar\int_0^{\beta\hbar}\sum_\alpha\bigl[\hbar\bar\alpha_\alpha\partial_\tau\alpha_\alpha+\xi_\alpha\bar\alpha_\alpha\alpha_\alpha\bigr]\mathrm{d}\tau\Bigr\} =\prod_\alpha\frac1{1-\mathrm{e}^{-\beta\xi_\alpha}}\tag{6.6.23}$$

となり、第6部第5章の定理（自由な大正準の状態は積の状態）の $\Xi$ と同じ形になる。$\langle \hat n_\alpha \rangle =-\partial\ln\Xi/\partial(\beta\xi_\alpha)=n_{\mathrm B}(\varepsilon _\alpha)$ で Bose 分布が出る。経路は $\alpha(\beta\hbar)=\alpha(0)$ の周期の境界を満たし、これがトレースの式 (6.6.4) の帰結である。

行列式の対数を展開すると、第6部第5章の循環展開の意味が見える。1つのモードの離散の値 (6.6.11) で

$$\ln\Xi_\alpha=-\ln\bigl(1-(1-a)^P\bigr)=\sum_{\ell=1}^\infty\frac{\bigl[(1-a)^P\bigr]^\ell}{\ell}\ \xrightarrow{P\to\infty}\ \sum_{\ell=1}^\infty\frac{\mathrm{e}^{-\ell\beta\xi_\alpha}}{\ell}\tag{6.6.24}$$

である。$(1-a)^P$ は、巡回行列 $M=1-(1-a)S$ の「1つ先の刻みへ進む」部分 $S$ を $P$ 回つないで虚時間の円を1周する振幅で、$[(1-a)^P]^\ell$ はその円を $\ell$ 回巻く振幅である。$1/\ell$ は、$\ell$ 回巻く閉じた経路をどの刻みから数え始めても同じ経路になる重複を割ったものと読める。全モードで和をとると $\sum_\alpha\mathrm{e}^{-\ell\beta(\varepsilon _\alpha-\mu)}=z^\ell Z_1(\ell\beta)$（$z=\mathrm{e}^{\beta\mu}$）なので、$\ln\Xi=\sum_\ell z^\ell Z_1(\ell\beta)/\ell$ となり、第6部第5章の循環展開のボースの形に戻る。長さ $\ell$ の置換の輪は、虚時間の円を $\ell$ 回巻く経路として数えられている。

Matsubara 成分で書くと、1つのモードの占有数は $\hbar\bar\alpha\alpha$ の虚時間の平均で、形式的に $\frac1{\beta\hbar}\sum_n\frac1{\xi/\hbar-\mathrm{i}\omega_n}$ になる。この和も $n$ と $-n$ を対にしないと収束しない。対にした和は $\frac1{\beta\xi}+\sum_{n\ge1}\frac{2\beta\xi}{(\beta\xi)^2+(2\pi n)^2}=\frac12\coth\frac{\beta\xi}2=n_{\mathrm B}+\frac12$ で、$\frac12(\hat a^\dagger\hat a+\hat a\hat a^\dagger)$ の期待値、すなわち対称な順序の値になる。6.6.3節の零点と同じく、連続の形の和の取り方が演算子の順序の選び方に当たっている。

フェルミ粒子には Grassmann 数が要る

フェルミ粒子では $\hat c^2=0$ なので、$\hat c| \eta \rangle =\eta| \eta \rangle$ の固有値 $\eta$ も $\eta^2=0$ を満たさなければならない（両辺に $\hat c$ をもう1回掛けると $0=\eta^2| \eta \rangle$）。0 でない普通の数でこれを満たすものは無い。そこで、互いに反可換な記号 $\eta_1,\eta_2,\dots$

$$\eta_i\eta_j=-\eta_j\eta_i,\qquad\eta_i^2=0\tag{6.6.25}$$

を導入する。これを Grassmann 数と呼ぶ。Grassmann 数の関数は高々1次までの多項式（1変数なら $f(\eta)=f_0+f_1\eta$）で、積分は F. A. Berezin の定義

$$\int\mathrm{d}\eta\;1=0,\qquad\int\mathrm{d}\eta\;\eta=1\tag{6.6.26}$$

に従う（$\mathrm{d}\eta$ も $\eta$ と反可換に扱う。Berezin, The Method of Second Quantization (Academic Press, 1966)）。この規則は「積分は平行移動 $\eta\to\eta+\theta$ で変わらない」ことと規格化だけから決まる。Grassmann 数は $\hat c$, $\hat c^\dagger$ とも反可換とし、普通の数（ボースの演算子を含む）とは可換とする。

この規則で、フェルミのコヒーレント状態と単位の分解・トレースの式は次の形になる。$\bar\eta$ は $\eta$ と独立な Grassmann 数である。

$$\begin{gathered} | \eta \rangle =\mathrm{e}^{-\eta\hat c^\dagger}| 0 \rangle =| 0 \rangle -\eta| 1 \rangle ,\qquad\hat c| \eta \rangle =\eta| \eta \rangle ,\qquad \langle \eta' | \eta \rangle =\mathrm{e}^{\bar\eta'\eta},\\ \int\mathrm{d}\bar\eta\,\mathrm{d}\eta\;\mathrm{e}^{-\bar\eta\eta}| \eta \rangle \langle \eta |=\hat1,\qquad \operatorname{Tr}\hat A=\int\mathrm{d}\bar\eta\,\mathrm{d}\eta\;\mathrm{e}^{-\bar\eta\eta}\langle -\eta | \hat A | \eta \rangle \end{gathered}\tag{6.6.27}$$

固有値の式は $\hat c(| 0 \rangle -\eta| 1 \rangle )=+\eta\hat c| 1 \rangle =\eta| 0 \rangle$ と $\eta(| 0 \rangle -\eta| 1 \rangle )=\eta| 0 \rangle$（$\eta^2=0$）から確かめられる（$\hat c$ を $\eta$ の右へ移すときに符号が1つ変わる）。トレースの式に現れる $\langle -\eta |$ の符号は、Grassmann 数を左右に回すときの符号の帳尻で、経路積分では最後の刻みを最初の刻みとつなぐ境界の条件を

$$\eta(\beta\hbar)=-\eta(0)\qquad(\text{反周期})\tag{6.6.28}$$

にする。Matsubara 角振動数は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n\beta\hbar}=-1$ の解 $\omega_n=(2n+1)\pi/(\beta\hbar)$ になり、ボースの偶数倍に対してフェルミは奇数倍である（図 6.6.2）。

フェルミ粒子の分配関数と零点の符号

Grassmann 数の Gauss 積分は、(6.6.26) から $\int\mathrm{d}\bar\eta\,\mathrm{d}\eta\;\mathrm{e}^{-\bar\eta c\eta}=\int\mathrm{d}\bar\eta\,\mathrm{d}\eta\,(1-\bar\eta c\eta)=c$ で、多変数では$\int\prod_k\mathrm{d}\bar\eta_k\mathrm{d}\eta_k\,\mathrm{e}^{-\bar{\bm{\eta}}M\bm{\eta}}=\det M$ になる。ボースでは行列式が分母（$1/\det M$）に、フェルミでは分子に来る。1つのモード $\hat H=\hbar\omega\hat c^\dagger\hat c$ を虚時間で $P$ 等分すると、行列 $M$ はボースの (6.6.10) と同じ形で、反周期の境界のために右上の隅の符号だけが逆になる。巡回の固有値 $\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} k/P}$ が $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi(2k+1)/P}$ に替わり

$$Z_P^{\mathrm F}=\det M_{\mathrm F}=1+(1-a)^P\ \xrightarrow{P\to\infty}\ 1+\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega},\qquad\langle \hat n \rangle =\frac{\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}}{1+\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}}=\frac1{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}+1}\tag{6.6.29}$$

を得る（$a=\beta\hbar\omega/P$。$P=2,3$ では verify_ch6-06.py で Grassmann 代数を実装して Berezin 積分を直接行い、符号まで含めて一致を確かめた）。$\hbar\omega$ を $\varepsilon -\mu$ に替えれば Fermi 分布 $f(\varepsilon )$ である。

連続の形で $n$ と $-n-1$ を対にして奇数の Matsubara 積をとると $\prod_{n\ge0}(1+(\beta\hbar\omega)^2/((2n+1)\pi)^2)=\cosh(\beta\hbar\omega/2)$ で、自由な値 $Z=2$ で規格化すると $Z=2\cosh(\beta\hbar\omega/2)$ になる。これは $\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega/2}(1+\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega})$、すなわちスペクトル $\pm\hbar\omega/2$ の和で、ハミルトニアン $\hbar\omega(\hat c^\dagger\hat c-\frac12)=\frac{\hbar\omega}2(\hat c^\dagger\hat c-\hat c\hat c^\dagger)$ の分配関数である。第6部第3章が対称な順序で出したフェルミ振動子の $Z=2\cosh(x/2)$ と零点 $-\hbar\omega/2$ が、ここでも対称に組んだ積から出る。ボースの零点が $+\hbar\omega/2$、フェルミが $-\hbar\omega/2$ になるのは、行列式がボースで分母、フェルミで分子に来ることの表れである。対称な順序の占有数も同様で、奇数の Matsubara 和は $\frac12\tanh(\beta\xi/2)=\frac12-f$ を与え、これは $\frac12(\hat c\hat c^\dagger-\hat c^\dagger\hat c)$ の期待値である。

境界の条件を周期にした Grassmann 積分は $1-(1-a)^P\to1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega}=\operatorname{Tr}[(-1)^{\hat n}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega\hat n}]$ を与える。周期の境界のフェルミと周期の境界のボースを同じ角振動数で組むと、行列式が分子と分母で打ち消し合って $1$ が残り、第6部第3章の超対称な振動子の Witten 指数 $\operatorname{Tr}[(-1)^F\mathrm{e}^{-\beta\hat H}]=1$ が経路積分の側から出る（Witten (1982), Nucl. Phys. B 202, 253）。

Fermi の海を真空に取り直す第6部第4章（第6部第4章）の正孔の演算子 $\hat d_k^\dagger=\hat c_k$ は、経路積分では詰まった準位の Grassmann 変数の名前 $\eta_k$ と $\bar\eta_k$ を入れ替えることに当たる。Grassmann 数の扱いはこの章では導入にとどめ、相互作用のあるフェルミ粒子の計算（Hubbard–Stratonovich 変換で対の場を入れる BCS の平均場など）は第6部第7章に送る。