この章のまとめ

(1) 3次元の調和振動子のハミルトニアンは3方向の振動子の和なので、1粒子の状態空間はテンソル積で、$\mathrm{e}^{-\beta\hat h}$ のトレースは各方向のトレースの積になる。各方向は共通例題①の $\sum_{n_x}\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega(n_x+1/2)}=1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))$ なので、$Z_1(\beta)=[2\sinh(\beta\hbar\omega/2)]^{-3}$ である。縮退度で書いた $\sum_ng_n\mathrm{e}^{-\beta\varepsilon _n}$ は同じ和を $n=n_x+n_y+n_z$ ごとにまとめたものにすぎない。$\beta\hbar\omega=1$ では $0.9595^3=0.8834$ である。

(2) 同じく $Z_1(2\beta)=[2\sinh1]^{-3}=0.4255^3=0.07701$ で、

$$Z_2^\pm=\frac12\bigl[Z_1(\beta)^2\pm Z_1(2\beta)\bigr]=\frac12\bigl[0.7804\pm0.0770\bigr]=0.4287\ (\text{ボース}),\quad0.3517\ (\text{フェルミ})$$

である。1次元の例題 6.5.6 より交換の項 $Z_1(2\beta)$ の比重が小さい（$0.077/0.780=0.10$ と $0.4255/0.9206=0.46$）。3次元では準位の数が多く、2粒子が同じ準位に重なる割合が下がるためである。数値はモードの対を直接数えて verify_ch6-05.py で確かめた。

(3) 殻 $n$ には $g_n$ 個の準位があるので、$n=0,\dots,9$ を埋めると $\sum_{n=0}^9g_n=\frac{10\cdot11\cdot12}{6}=220$ 個である。一番上の殻のエネルギーは $\hbar\omega(9+\frac32)=10.5\hbar\omega$、全エネルギーは $\sum_{n=0}^9g_n\hbar\omega(n+\frac32)=1815\hbar\omega$ になる。大きな $N$ では $\sum_{n<M}g_n\approx M^3/6=N$ から $\varepsilon _{\mathrm F}\approx M\hbar\omega=(6N)^{1/3}\hbar\omega=10.97\hbar\omega$、全エネルギー $\approx\frac34N\varepsilon _{\mathrm F}=1810\hbar\omega$ で、220 個でも誤差は 5% 以内（全エネルギーでは 0.3%）である。差の主な原因は殻の零点 $\frac32\hbar\omega$ と、$g_n$ の $n^2/2$ 以外の項である。

(4) $(1000/1.2021)^{1/3}=9.405$ なので $k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}^{(0)}=9.405\hbar\omega$ である。(6.5.16) の補正は $-0.7275\times1000^{-1/3}=-0.0728$ で、$k_{\mathrm B} T_{\mathrm c}\approx8.72\hbar\omega$ になる。$N_{\mathrm c}(T)=N$ を準位の和 (6.5.13) のまま数値で解くと $8.71\hbar\omega$ で、1次の補正でほぼ合う。図 6.5.2 の点線が低温側へずれているのはこのためである。

(5) 基底状態のモードの消滅演算子を $\hat a_0$ とすると、$\hat H-\mu\hat N$ による時間発展は $\alpha_t(\hat a_0)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\varepsilon _0-\mu)t/\hbar}\hat a_0$ で、KMS の関係は$\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _0-\mu)}\langle \hat a_0^\dagger\hat a_0 \rangle =\langle \hat a_0\hat a_0^\dagger \rangle =1+\langle \hat a_0^\dagger\hat a_0 \rangle$ になる。これを解くと $N_0=1/(\mathrm{e}^{\beta(\varepsilon _0-\mu)}-1)$ で Bose 分布である。同じ大正準の状態の中で、基底状態のモードは他のモードと独立な1つのモードの熱平衡にあるので（定理 6.5.3）、その占有数は幾何分布に従い、例題 6.5.1 から$\mathrm{Var}(\hat N_0)=N_0(N_0+1)$ である。$T<T_{\mathrm c}$ では $N_0$ が巨視的なので、相対的な揺らぎ $\sqrt{N_0(N_0+1)}/N_0\approx1$ になる。たとえば $N=1000$、$T=T_{\mathrm c}^{(0)}/2$ では準位の和から $N_0=814$ で、標準偏差も約 815 である。命題 6.5.6 によれば大正準の状態は正準の状態を $P(N)$ で混ぜたものなので、この大きな揺らぎは粒子数 $N$ そのものが大きく揺らいでいることを意味する。粒子数の決まったトラップでは $N$ が揺らがないので、凝縮体の数の揺らぎは命題の (i) で $N$ を固定した正準の状態（第6部第2章）で計算しなければならない。平均の $N_0/N$ を出すだけなら大正準で差し支えないが、揺らぎを問うときは2つの状態が別の答えを与える。