量子力学の様々な構成方法 第5部 第1章 §5.1.3 ★★★ 位相空間の構成の基本の対象 W を定義し、要請 (W1)〜(W4) を満たすことを示す
定義
Wigner は 1932 年の論文（E. P. Wigner (1932)、Phys. Rev. 40 、749–759）で、次の関数を導入した。
定義 5.1.3（Wigner 関数）
密度行列 ρ ^ \hat\rho ρ ^ Wigner 関数 を
W ( x , p ) = 1 π ℏ ∫ ⟨ x + y ∣ ρ ^ ∣ x − y ⟩ e − 2 i p y / ℏ d y (5.1.5) W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int\langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle \,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}\,\mathrm{d} y\tag{5.1.5} W ( x , p ) = π ℏ 1 ∫ ⟨ x + y ∣ ρ ^ ∣ x − y ⟩ e − 2 i p y /ℏ d y ( 5.1.5 )
で定める。純粋状態 ρ ^ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \hat\rho=| \psi \rangle \langle \psi | ρ ^ = ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ⟨ x + y ∣ ρ ^ ∣ x − y ⟩ = ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) \langle x+y | \hat\rho | x-y \rangle =\psi(x+y)\psi^*(x-y) ⟨ x + y ∣ ρ ^ ∣ x − y ⟩ = ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y )
式の読み方を書いておく。密度行列の位置表示 ⟨ x ′ ∣ ρ ^ ∣ x ′ ′ ⟩ \langle x' | \hat\rho | x'' \rangle ⟨ x ′ ∣ ρ ^ ∣ x ′′ ⟩ x = ( x ′ + x ′ ′ ) / 2 x=(x'+x'')/2 x = ( x ′ + x ′′ ) /2 y = ( x ′ − x ′ ′ ) / 2 y=(x'-x'')/2 y = ( x ′ − x ′′ ) /2 x ′ − x ′ ′ = 2 y x'-x''=2y x ′ − x ′′ = 2 y p p p e − i p ( 2 y ) / ℏ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} p(2y)/\hbar} e − i p ( 2 y ) /ℏ 1 / ( π ℏ ) = 2 / ( 2 π ℏ ) 1/(\pi\hbar)=2/(2\pi\hbar) 1/ ( π ℏ ) = 2/ ( 2 π ℏ ) d ( 2 y ) = 2 d y \mathrm{d}(2y)=2\,\mathrm{d} y d ( 2 y ) = 2 d y
要請 (W1)〜(W4) を満たすこと
命題 5.1.4（Wigner 関数は (W1)〜(W4) を満たす ★★★）
(5.1.5) の W W W 5.1.1 の (W1)・(W2)・(W3)・(W4) をすべて満たす。
証明 (W2) は定義が ρ ^ \hat\rho ρ ^ ψ \psi ψ
実数であること。 複素共役を取るとW ∗ = 1 π ℏ ∫ ψ ∗ ( x + y ) ψ ( x − y ) e 2 i p y / ℏ d y W^*=\frac{1}{\pi\hbar}\int\psi^*(x+y)\psi(x-y)\mathrm{e}^{2\mathrm{i} py/\hbar}\mathrm{d} y W ∗ = π ℏ 1 ∫ ψ ∗ ( x + y ) ψ ( x − y ) e 2 i p y /ℏ d y y → − y y\to-y y → − y W ∗ = W W^*=W W ∗ = W
位置の周辺分布。 ∫ e − 2 i p y / ℏ d p = 2 π δ ( 2 y / ℏ ) = π ℏ δ ( y ) \int\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}\mathrm{d} p=2\pi\delta(2y/\hbar)=\pi\hbar\,\delta(y) ∫ e − 2 i p y /ℏ d p = 2 π δ ( 2 y /ℏ ) = π ℏ δ ( y )
∫ W d p = 1 π ℏ ∫ ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) π ℏ δ ( y ) d y = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 . \int W\,\mathrm{d} p=\frac{1}{\pi\hbar}\int\psi(x+y)\psi^*(x-y)\,\pi\hbar\,\delta(y)\,\mathrm{d} y=\lvert \psi(x)\rvert ^2 . ∫ W d p = π ℏ 1 ∫ ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) π ℏ δ ( y ) d y = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 .
運動量の周辺分布。 変数を u = x + y u=x+y u = x + y v = x − y v=x-y v = x − y d x d y = 1 2 d u d v \mathrm{d} x\,\mathrm{d} y=\tfrac12\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v d x d y = 2 1 d u d v 2 y = u − v 2y=u-v 2 y = u − v
∫ W d x = 1 2 π ℏ ∫ ψ ( u ) e − i p u / ℏ d u ∫ ψ ∗ ( v ) e i p v / ℏ d v = ∣ φ ( p ) ∣ 2 . \int W\,\mathrm{d} x=\frac{1}{2\pi\hbar}\int\psi(u)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} pu/\hbar}\mathrm{d} u\int\psi^*(v)\mathrm{e}^{\mathrm{i} pv/\hbar}\mathrm{d} v=\lvert \varphi(p)\rvert ^2 . ∫ W d x = 2 π ℏ 1 ∫ ψ ( u ) e − i p u /ℏ d u ∫ ψ ∗ ( v ) e i p v /ℏ d v = ∣ φ ( p ) ∣ 2 .
φ \varphi φ (5.1.4) の運動量表示の波動関数である。
規格化。 位置の周辺分布をさらに x x x ∫ ∣ ψ ∣ 2 d x = 1 \int\lvert \psi\rvert ^2\mathrm{d} x=1 ∫ ∣ ψ ∣ 2 d x = 1
平行移動。 ψ a ( x ) = ψ ( x − a ) \psi_a(x)=\psi(x-a) ψ a ( x ) = ψ ( x − a ) ψ a ( x + y ) ψ a ∗ ( x − y ) = ψ ( x − a + y ) ψ ∗ ( x − a − y ) \psi_a(x+y)\psi_a^*(x-y)=\psi(x-a+y)\psi^*(x-a-y) ψ a ( x + y ) ψ a ∗ ( x − y ) = ψ ( x − a + y ) ψ ∗ ( x − a − y ) W ψ a ( x , p ) = W ψ ( x − a , p ) W_{\psi_a}(x,p)=W_\psi(x-a,p) W ψ a ( x , p ) = W ψ ( x − a , p ) χ ( x ) = e i p 0 x / ℏ ψ ( x ) \chi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} p_0x/\hbar}\psi(x) χ ( x ) = e i p 0 x /ℏ ψ ( x ) χ ( x + y ) χ ∗ ( x − y ) = e 2 i p 0 y / ℏ ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) \chi(x+y)\chi^*(x-y)=\mathrm{e}^{2\mathrm{i} p_0y/\hbar}\psi(x+y)\psi^*(x-y) χ ( x + y ) χ ∗ ( x − y ) = e 2 i p 0 y /ℏ ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) e − 2 i ( p − p 0 ) y / ℏ \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}(p-p_0)y/\hbar} e − 2 i ( p − p 0 ) y /ℏ W χ ( x , p ) = W ψ ( x , p − p 0 ) W_\chi(x,p)=W_\psi(x,p-p_0) W χ ( x , p ) = W ψ ( x , p − p 0 )
定理 5.1.2 から、W W W W W W W W W ∫ W A W d x d p \int W A_W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p ∫ W A W d x d p A ^ ↔ A W \hat A\leftrightarrow A_W A ^ ↔ A W 第5部第2章 で示す。さらに W W W a x + b p ax+bp a x + b p 第5部第2章 の例で扱う。
Gauss 波束の Wigner 関数
例題 5.1.3 チャープした波束の W W W
オリジナル 例題 5.1.2 の波束について次を示せ。
(1) Wigner 関数は
W ( x , p ) = 1 π ℏ exp ( − x 2 2 σ 2 − 2 σ 2 ℏ 2 ( p − 2 ℏ κ x ) 2 ) W(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2\sigma^2}-\frac{2\sigma^2}{\hbar^2}\bigl(p-2\hbar\kappa x\bigr)^2\Bigr) W ( x , p ) = π ℏ 1 exp ( − 2 σ 2 x 2 − ℏ 2 2 σ 2 ( p − 2ℏ κ x ) 2 )
である。2. (2) この W W W x x x p p p 5.1.2 (1) の分散を持つ正規分布になる。3. (3) ∫ x p W d x d p = 2 ℏ κ σ 2 \int xp\,W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=2\hbar\kappa\sigma^2 ∫ x p W d x d p = 2ℏ κ σ 2 5.1.2 の C C C
解答 (1) 指数の部分を計算する。− ( x + y ) 2 / ( 4 σ 2 ) − ( x − y ) 2 / ( 4 σ 2 ) = − ( x 2 + y 2 ) / ( 2 σ 2 ) -(x+y)^2/(4\sigma^2)-(x-y)^2/(4\sigma^2)=-(x^2+y^2)/(2\sigma^2) − ( x + y ) 2 / ( 4 σ 2 ) − ( x − y ) 2 / ( 4 σ 2 ) = − ( x 2 + y 2 ) / ( 2 σ 2 ) κ ( x + y ) 2 − κ ( x − y ) 2 = 4 κ x y \kappa(x+y)^2-\kappa(x-y)^2=4\kappa xy κ ( x + y ) 2 − κ ( x − y ) 2 = 4 κ x y
ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) = ( 2 π σ 2 ) − 1 / 2 e − x 2 / ( 2 σ 2 ) e − y 2 / ( 2 σ 2 ) e 4 i κ x y . \psi(x+y)\psi^*(x-y)=(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\,\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}\,\mathrm{e}^{-y^2/(2\sigma^2)}\,\mathrm{e}^{4\mathrm{i}\kappa xy} . ψ ( x + y ) ψ ∗ ( x − y ) = ( 2 π σ 2 ) − 1/2 e − x 2 / ( 2 σ 2 ) e − y 2 / ( 2 σ 2 ) e 4 i κ x y .
y y y ∫ e − y 2 / ( 2 σ 2 ) e − 2 i ( p − 2 ℏ κ x ) y / ℏ d y = 2 π σ 2 e − 2 σ 2 ( p − 2 ℏ κ x ) 2 / ℏ 2 \int\mathrm{e}^{-y^2/(2\sigma^2)}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}(p-2\hbar\kappa x)y/\hbar}\mathrm{d} y=\sqrt{2\pi\sigma^2}\,\mathrm{e}^{-2\sigma^2(p-2\hbar\kappa x)^2/\hbar^2} ∫ e − y 2 / ( 2 σ 2 ) e − 2 i ( p − 2ℏ κ x ) y /ℏ d y = 2 π σ 2 e − 2 σ 2 ( p − 2ℏ κ x ) 2 / ℏ 2 ∫ e − y 2 / ( 2 σ 2 ) − i k y d y = 2 π σ 2 e − σ 2 k 2 / 2 \int\mathrm{e}^{-y^2/(2\sigma^2)-\mathrm{i} ky}\mathrm{d} y=\sqrt{2\pi\sigma^2}\mathrm{e}^{-\sigma^2k^2/2} ∫ e − y 2 / ( 2 σ 2 ) − i k y d y = 2 π σ 2 e − σ 2 k 2 /2 k = 2 ( p − 2 ℏ κ x ) / ℏ k=2(p-2\hbar\kappa x)/\hbar k = 2 ( p − 2ℏ κ x ) /ℏ ( 2 π σ 2 ) − 1 / 2 (2\pi\sigma^2)^{-1/2} ( 2 π σ 2 ) − 1/2
(2) p p p ∫ e − 2 σ 2 ( p − 2 ℏ κ x ) 2 / ℏ 2 d p = π ℏ 2 / ( 2 σ 2 ) \int\mathrm{e}^{-2\sigma^2(p-2\hbar\kappa x)^2/\hbar^2}\mathrm{d} p=\sqrt{\pi\hbar^2/(2\sigma^2)} ∫ e − 2 σ 2 ( p − 2ℏ κ x ) 2 / ℏ 2 d p = π ℏ 2 / ( 2 σ 2 ) ∫ W d p = ( 2 π σ 2 ) − 1 / 2 e − x 2 / ( 2 σ 2 ) = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 \int W\mathrm{d} p=(2\pi\sigma^2)^{-1/2}\mathrm{e}^{-x^2/(2\sigma^2)}=\lvert \psi(x)\rvert ^2 ∫ W d p = ( 2 π σ 2 ) − 1/2 e − x 2 / ( 2 σ 2 ) = ∣ ψ ( x ) ∣ 2 p p p W W W ( x , p ) (x,p) ( x , p ) − 1 2 ( x , p ) Σ − 1 ( x , p ) T -\tfrac12(x,p)\,\Sigma^{-1}(x,p)^{\mathsf T} − 2 1 ( x , p ) Σ − 1 ( x , p ) T Σ \Sigma Σ
Σ − 1 = ( 1 σ 2 + 16 σ 2 κ 2 − 8 σ 2 κ ℏ − 8 σ 2 κ ℏ 4 σ 2 ℏ 2 ) , det Σ − 1 = 4 ℏ 2 , \Sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sigma^2}+16\sigma^2\kappa^2&-\dfrac{8\sigma^2\kappa}{\hbar}\\[2mm]-\dfrac{8\sigma^2\kappa}{\hbar}&\dfrac{4\sigma^2}{\hbar^2}\end{pmatrix},\qquad
\det\Sigma^{-1}=\frac{4}{\hbar^2}, Σ − 1 = σ 2 1 + 16 σ 2 κ 2 − ℏ 8 σ 2 κ − ℏ 8 σ 2 κ ℏ 2 4 σ 2 , det Σ − 1 = ℏ 2 4 ,
Σ = ℏ 2 4 ( 4 σ 2 ℏ 2 8 σ 2 κ ℏ 8 σ 2 κ ℏ 1 σ 2 + 16 σ 2 κ 2 ) = ( σ 2 2 ℏ κ σ 2 2 ℏ κ σ 2 ℏ 2 4 σ 2 + 4 ℏ 2 κ 2 σ 2 ) . \Sigma=\frac{\hbar^2}{4}\begin{pmatrix}\dfrac{4\sigma^2}{\hbar^2}&\dfrac{8\sigma^2\kappa}{\hbar}\\[2mm]\dfrac{8\sigma^2\kappa}{\hbar}&\dfrac{1}{\sigma^2}+16\sigma^2\kappa^2\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\sigma^2&2\hbar\kappa\sigma^2\\2\hbar\kappa\sigma^2&\dfrac{\hbar^2}{4\sigma^2}+4\hbar^2\kappa^2\sigma^2\end{pmatrix}. Σ = 4 ℏ 2 ℏ 2 4 σ 2 ℏ 8 σ 2 κ ℏ 8 σ 2 κ σ 2 1 + 16 σ 2 κ 2 = σ 2 2ℏ κ σ 2 2ℏ κ σ 2 4 σ 2 ℏ 2 + 4 ℏ 2 κ 2 σ 2 .
正規分布の周辺分布は対角成分を分散とする正規分布なので、p p p ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) + 4 ℏ 2 κ 2 σ 2 \hbar^2/(4\sigma^2)+4\hbar^2\kappa^2\sigma^2 ℏ 2 / ( 4 σ 2 ) + 4 ℏ 2 κ 2 σ 2 5.1.2 の ⟨ p ^ 2 ⟩ \langle \hat p^2 \rangle ⟨ p ^ 2 ⟩
(3) 共分散行列の非対角成分が ∫ x p W d x d p = 2 ℏ κ σ 2 \int xp\,W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=2\hbar\kappa\sigma^2 ∫ x p W d x d p = 2ℏ κ σ 2 C C C 0 0 0 W W W
この W W W 5.1.1 ）。κ = 0 \kappa=0 κ = 0 x x x p p p σ ⋅ ℏ / ( 2 σ ) = ℏ / 2 \sigma\cdot\hbar/(2\sigma)=\hbar/2 σ ⋅ ℏ/ ( 2 σ ) = ℏ/2 W W W 6 、249–252）。
図 5.1.1 例題 5.1.3 の W W W κ σ 2 = 1 / 2 \kappa\sigma^2=1/2 κ σ 2 = 1/2 − 1 / 4 -1/4 − 1/4 − 1 -1 − 1 (5.1.4) の等高線（細い実線）。縦軸は p p p ℏ / ( 2 σ ) \hbar/(2\sigma) ℏ/ ( 2 σ ) x x x p p p ⟨ x p ⟩ \langle xp \rangle ⟨ x p ⟩
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
