確率分布になりきれないところ：高さの上限と負の値

量子力学の様々な構成方法　第5部 第1章 §5.1.4　★★ $W$ は $1/(\pi\hbar)$ より高くなれず、面積 $2\pi\hbar$ より狭く集まれない。奇の状態では原点で負になる

原点での値はパリティの期待値

$W$ の1点での値には、基準の言葉で簡単な意味がある。パリティ演算子 $\hat\Pi$ を $(\hat\Pi\psi)(x)=\psi(-x)$ で定めると、(5.1.5) で $x=p=0$ と置いて

$$W(0,0)=\frac{1}{\pi\hbar}\int\psi(y)\psi^*(-y)\,\mathrm{d} y=\frac{1}{\pi\hbar}\langle \psi | \hat\Pi | \psi \rangle\tag{5.1.6}$$

となる（2つ目の等号は積分変数を $y\to-y$ と替えて $\int\psi^*(y)\psi(-y)\mathrm{d} y$ の形にした）。一般の点 $(x_0,p_0)$ の値は、状態をずらしてその点を原点に持ってくれば同じ形になる。$\chi(y)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p_0y/\hbar}\psi(y+x_0)$ と置くと $\chi(y)\chi^*(-y)=\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} p_0y/\hbar}\psi(x_0+y)\psi^*(x_0-y)$ なので

$$W_\psi(x_0,p_0)=W_\chi(0,0)=\frac{1}{\pi\hbar}\langle \chi | \hat\Pi | \chi \rangle .\tag{5.1.7}$$

$W$ は各点で「その点のまわりで鏡映したときの偶奇の期待値」を $1/(\pi\hbar)$ 倍したものである。

高さの上限と、面積 $2\pi\hbar$

(1) と (2) を合わせると、$W$ が面積 $A$ の領域にほぼ一様に広がっているなら、高さはおよそ $1/A$、$\int W^2$ はおよそ $1/A$ で、(2) から $A\approx2\pi\hbar$、(1) から $A\ge\pi\hbar$ となる。どんな純粋状態も、相空間で面積 $2\pi\hbar$ 程度より狭い所に集まることはできない。古典の分布は1点に集中したデルタ関数にもなれたが、$W$ にはそれが許されない。これが不確定性関係の位相空間での姿である。古典統計力学で状態の数を数えるときの $\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p/(2\pi\hbar)$ という測度（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第3章）も、この面積を1区画と数えたものになっている。

負になる例

(5.1.6) から、奇の状態（$\psi(-x)=-\psi(x)$）では $W(0,0)=-1/(\pi\hbar)$ で、上限 (1) の下側にちょうど達する。調和振動子の第1励起状態がその例である。負の値がなぜ観測と矛盾しないかは 第5部第4章 で論じる。ここでは、負の値が干渉と同じ起源を持つことだけを例題で確かめておく。