この章のまとめ

(1) $\omega_0=1/\sqrt{LC}$、$Z=\sqrt{L/C}$ から $C=1/(\omega_0Z)=3.183\,\mathrm{pF}$、$L=Z/\omega_0=7.958\,\mathrm{nH}$。節点の方程式 $C\ddot\Phi+\dot\Phi/R+\Phi/L=I_{\mathrm n}$ を質量 $m$ の粒子の $m\ddot x+m\gamma\dot x+m\omega_0^2x=\zeta$ と比べると $m=C$、$m\gamma=1/R$、$m\omega_0^2=1/L$ で、抵抗の役は記憶の核 $K(\tau)=2\delta(\tau)/R$、すなわち $J(\omega)=\omega/R$ の Ohm 型の熱浴である。$\gamma=1/(RC)=3.14\times10^7\,\mathrm s^{-1}$、$\gamma/\omega_0=Z/R=0.005$、$Q_{\mathrm f}=200$。第2部第5章の量子化 $\left[\hat\Phi,\,\hat Q\right]=\mathrm{i}\hbar$ は、この対応で粒子の $\left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar$ になる。

(2) $k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega_0)=1.381\times10^{-23}/(1.055\times10^{-34}\times6.283\times10^9)=20.8\gg1$ なので、共振の周波数の付近では $\coth\approx2 k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega)$ が使える（抵抗の遮断はさらに高いとする）。雑音の核は $\nu\to(2m\gamma k_{\mathrm B} T/\hbar)\delta=(2 k_{\mathrm B} T/(\hbar R))\delta$ で、$\zeta=I_{\mathrm n}$ の相関は $\hbar\nu=(2 k_{\mathrm B} T/R)\delta(s-u)$。両側のパワースペクトルが $2 k_{\mathrm B} T/R$ なので、正の周波数だけの片側スペクトルは $4 k_{\mathrm B} T/R=5.52\times10^{-27}\,\mathrm A^2/\mathrm{Hz}$ で、Johnson–Nyquist の雑音電流である。

(3) (4.6.17) で $m\gamma=1/R$ なので $\Gamma_{\mathrm{dec}}= k_{\mathrm B} T\Delta\Phi^2/(R\hbar^2)$。$\Phi_0=2.068\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}$、$\Delta\Phi=2.068\times10^{-17}\,\mathrm{Wb}$ で$\Gamma_{\mathrm{dec}}=1.381\times10^{-23}\times4.28\times10^{-34}/(10^4\times1.112\times10^{-68})=5.31\times10^7\,\mathrm s^{-1}$。$\gamma$ の $1.69$ 倍である。$\Delta\Phi/\lambda_{\mathrm{th}}$ の比（$\lambda_{\mathrm{th}}=\hbar/\sqrt{2C k_{\mathrm B} T}$）が $1$ の桁なので、散逸と同じ桁の速さで干渉が消える。磁束の差が大きい状態の重ね合わせほど、$\Delta\Phi^2$ に比例して速く消える。

(4) $k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega_0)=0.4167$、$\beta\hbar\omega_0=2.400$。粒子の $\hbar/(2m\omega_0)$ は回路では $\hbar/(2C\omega_0)=\hbar Z/2$ である。(a) 熱平衡：$\coth(1.200)=1.1995$。(b) (4.6.20) を $\gamma/\omega_0=0.005$ で数値積分すると $1.1992$。差は 0.04% で、結合が弱いので命題 4.6.2 (a) のとおり熱平衡とほぼ一致する。(c) 高温の主方程式の定常解は $k_{\mathrm B} T/(C\omega_0^2)= k_{\mathrm B} TL$、この単位で $2 k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega_0)=0.833$ で、零点の揺らぎを持たないために3割小さい。この温度では高温の主方程式を使うことはできない。

(5) 基底状態では $\langle \hat\Phi^2 \rangle =\hbar Z/2$、$\langle \hat Q^2 \rangle =\hbar/(2Z)$、$D=\hbar^2/4$。(4.6.23) は $\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} t}=\gamma\hbar^2(-\tfrac12+ k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega_0))=-0.0833\,\gamma\hbar^2<0$ で、(4.6.15) の解は不確定性の関係を破り、密度演算子でなくなる。これは (4.6.15) が Lindblad 形でないこと（GKSL の定理の外にあること）の現れである。Diósi の項は $\gamma\hbar^2\cdot\hbar\omega_0/(16 k_{\mathrm B} T)=0.150\,\gamma\hbar^2$ を足して $+0.0667\,\gamma\hbar^2$ にし、正値性は守るが、定常の値は (c) と同じ古典の値のままで (4) の厳密な値を再現しない。$20\,\mathrm{mK}$・$1\,\mathrm{GHz}$ では、雑音の核 $\nu$ を $\coth$ のまま使う影響汎関数（第4.6.4節）か、結合が弱いことを使って第4部第5章の熱浴の Lindblad 方程式（共振の周波数での $\bar n$ を使うもの）を使うべきである。後者は弱結合・永年近似の Lindblad 方程式で、定常状態が (a) の熱平衡になり、(b) と 0.04% の範囲で一致する。