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環境を積分して消す：影響汎関数

2026年10月17日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第4部 第6章 経路積分との合流：Feynman–Vernon の影響汎関数と、密度行列の構成の限界
目次
  1. 定義
  2. 環境が経路の区別を記録する例
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第4部 第6章 §4.6.2　★★★ 系と環境を合わせた2本の経路積分から環境の経路を先に積分すると、系の経路だけの汎関数 F[x,x′]=Tr⁡E[U^E[x]ρ^EU^E[x′]†]F[x,x']=\operatorname{Tr}_{\mathrm E}[\hat U_{\mathrm E}[x]\hat\rho_{\mathrm E}\hat U_{\mathrm E}[x']^\dagger] が残る。これが Feynman–Vernon の影響汎関数で、環境が2本の経路をどれだけ区別して記録したかを表す

定義

系 S と環境 E の全体の Hamiltonian を H^=H^S+H^E+H^I\hat H=\hat H_{\mathrm S}+\hat H_{\mathrm E}+\hat H_{\mathrm I} とし、相互作用 H^I\hat H_{\mathrm I} は系の側では位置 x^\hat x だけを通じて入るとする（H^I=H^I(x^)\hat H_{\mathrm I}=\hat H_{\mathrm I}(\hat x)、環境の演算子を係数に持つ）。初めの状態は相関のない積 ρ^(0)⊗ρ^E\hat\rho(0)\otimes\hat\rho_{\mathrm E} とする。全体を (D3) で発展させ、(D5) で環境を捨てる。系の側にだけ位置の完全系を挟み、環境の側は演算子のまま残すと、系の経路 x(s)x(s) を1本決めるごとに、環境には「その経路に沿って変わる Hamiltonian H^E+H^I(x(s))\hat H_{\mathrm E}+\hat H_{\mathrm I}(x(s))」による時間順序つきの発展

U^E[x]=Texp⁡ ⁣(−iℏ∫0t[H^E+H^I(x(s))]ds)\hat U_{\mathrm E}[x]=\mathcal T\exp\!\Big(-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^t\big[\hat H_{\mathrm E}+\hat H_{\mathrm I}(x(s))\big]\mathrm{d} s\Big)

が掛かる（T\mathcal T は時刻の遅いものを左に並べる時間順序）。後ろ向きの経路 x′x' には U^E[x′]†\hat U_{\mathrm E}[x']^\dagger が掛かり、最後に環境のトレースを取るので、系の縮約密度行列は

ρS(xf,xf′,t)=∫dxi dxi′∫Dx Dx′  ei(SS[x]−SS[x′])/ℏ F[x,x′] ρS(xi,xi′,0)(4.6.6)\rho_{\mathrm S}(x_f,x_f',t)=\int\mathrm{d} x_i\,\mathrm{d} x_i'\int\mathcal Dx\,\mathcal Dx'\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}(S_{\mathrm S}[x]-S_{\mathrm S}[x'])/\hbar}\,F[x,x']\,\rho_{\mathrm S}(x_i,x_i',0)\tag{4.6.6}

F[x,x′]=Tr⁡E[U^E[x] ρ^E U^E[x′]†](4.6.7)F[x,x']=\operatorname{Tr}_{\mathrm E}\big[\hat U_{\mathrm E}[x]\,\hat\rho_{\mathrm E}\,\hat U_{\mathrm E}[x']^\dagger\big]\tag{4.6.7}

になる。F[x,x′]F[x,x'] を影響汎関数（influence functional）と呼ぶ（Feynman and Vernon (1963), Ann. Phys. 24, 118）。系の作用 SSS_{\mathrm S} だけを持つ (4.6.3) に、2本の経路を結ぶ因子 FF が掛かった形で、環境の自由度はすべて FF の中に閉じ込められている。

命題 4.6.1（影響汎関数の性質）

(4.6.7) の FF は次を満たす。(i) F[x,x]=1F[x,x]=1。(ii) F[x′,x]=F[x,x′]∗F[x',x]=F[x,x']^*。(iii) ∣F[x,x′]∣≤1\lvert F[x,x']\rvert \le1。(iv) 環境が独立な2つの部分 E1⊗E2\mathrm E_1\otimes\mathrm E_2 からなり、初めの状態も積で、相互作用も和 H^I=H^I1+H^I2\hat H_{\mathrm I}=\hat H_{\mathrm I1}+\hat H_{\mathrm I2} なら F=F1F2F=F_1F_2。(v) ρ^E=∣E0⟩⟨E0∣\hat\rho_{\mathrm E}=| E_0 \rangle \langle E_0 | が純粋なら、F[x,x′]=⟨E[x′]∣E[x]⟩F[x,x']=\langle E[x'] | E[x] \rangle、∣E[x]⟩=U^E[x]∣E0⟩| E[x] \rangle =\hat U_{\mathrm E}[x]| E_0 \rangle。

証明

(i) x=x′x=x' なら Tr⁡[U^ρ^EU^†]=Tr⁡ρ^E=1\operatorname{Tr}[\hat U\hat\rho_{\mathrm E}\hat U^\dagger]=\operatorname{Tr}\hat\rho_{\mathrm E}=1。(ii) Tr⁡[A^]∗=Tr⁡[A^†]\operatorname{Tr}[\hat A]^*=\operatorname{Tr}[\hat A^\dagger] から F[x,x′]∗=Tr⁡[U^E[x′]ρ^EU^E[x]†]=F[x′,x]F[x,x']^*=\operatorname{Tr}[\hat U_{\mathrm E}[x']\hat\rho_{\mathrm E}\hat U_{\mathrm E}[x]^\dagger]=F[x',x]。(v) トレースを ∣E0⟩⟨E0∣| E_0 \rangle \langle E_0 | で取れば ⟨E0∣U^E[x′]†U^E[x]∣E0⟩\langle E_0 |\hat U_{\mathrm E}[x']^\dagger\hat U_{\mathrm E}[x]| E_0 \rangle。(iii) ρ^E=∑jpj∣ej⟩⟨ej∣\hat\rho_{\mathrm E}=\sum_jp_j| e_j \rangle \langle e_j | と固有分解すると、F=∑jpj⟨Ej[x′]∣Ej[x]⟩F=\sum_jp_j\langle E_j[x'] | E_j[x] \rangle で、各項は単位ベクトルの内積なので Cauchy–Schwarz の不等式により絶対値が 11 以下、重みの和が 11 なので ∣F∣≤1\lvert F\rvert \le1。(iv) 全体の発展が U^E1[x]⊗U^E2[x]\hat U_{\mathrm E_1}[x]\otimes\hat U_{\mathrm E_2}[x] に分かれ、トレースが積に分かれる。

(v) が影響汎関数の意味を与える。系が経路 xx を通ったときと x′x' を通ったときに環境に残る状態 ∣E[x]⟩| E[x] \rangle、∣E[x′]⟩| E[x'] \rangle の重なりが FF である。2つが直交すれば F=0F=0 で、その2本の経路の干渉は縮約密度行列から消える。環境が経路を区別できる記録を持つほど干渉が消えるという第4部第2章の指針の例（測定装置とのもつれ）を、経路ごとに言い直したものになっている。(iii) のとおり ∣F∣\lvert F\rvert は 11 を超えないので、ln⁡F\ln F の実部は負で、2本の経路が離れているほど小さくなる。これをデコヒーレンスの減衰、ln⁡F\ln F の虚部を環境が系に及ぼす力（摩擦など）の位相と読む。

環境が経路の区別を記録する例

例題 4.6.2　どちらの道を通ったかを記録する量子ビット ★★

オリジナル粒子が時間 tt のあいだ x=+d/2x=+d/2 に留まる経路と x=−d/2x=-d/2 に留まる経路の重ね合わせにある（2つのスリットの後ろの2本の道を、位置の値だけで表した模型）。環境は量子ビット1つで、初めは ∣0⟩| 0 \rangle、相互作用は H^I=(ℏκ/d) x σy\hat H_{\mathrm I}=(\hbar\kappa/d)\,x\,\sigma_y、環境の Hamiltonian は 00 とする。2本の経路の影響汎関数 F[+,−]F[+,-] を求め、縮約密度行列の非対角要素がどう変わるかを述べよ。κt=π/3\kappa t=\pi/3 の可視度（非対角要素の絶対値の比）はいくらか。κt=π\kappa t=\pi では何が起きるか。

解答

経路 x=±d/2x=\pm d/2 のあいだ環境に掛かる発展は U^±=exp⁡(∓iκtσy/2)\hat U_\pm=\exp(\mp\mathrm{i}\kappa t\sigma_y/2) で、∣E±⟩=U^±∣0⟩=cos⁡(κt/2)∣0⟩±sin⁡(κt/2)∣1⟩| E_\pm \rangle =\hat U_\pm| 0 \rangle =\cos(\kappa t/2)| 0 \rangle \pm\sin(\kappa t/2)| 1 \rangle になる。命題 4.6.1 (v) により

F[+,−]=⟨E−∣E+⟩=cos⁡2κt2−sin⁡2κt2=cos⁡κt,F[+,+]=F[−,−]=1.F[+,-]=\langle E_- | E_+ \rangle =\cos^2\frac{\kappa t}2-\sin^2\frac{\kappa t}2=\cos\kappa t,\qquad F[+,+]=F[-,-]=1 .

系の作用は2本で同じなので、縮約密度行列の対角要素は変わらず、非対角要素だけが ρ+−(t)=cos⁡(κt) ρ+−(0)\rho_{+-}(t)=\cos(\kappa t)\,\rho_{+-}(0) になる。κt=π/3\kappa t=\pi/3 では可視度 1/21/2。κt=π\kappa t=\pi では F=−1F=-1 で可視度が 11 に戻り、符号だけが変わる。環境の2つの記録 ∣E±⟩| E_\pm \rangle がふたたび同じ向き（∣E±⟩=±∣1⟩| E_\pm \rangle =\pm| 1 \rangle は位相を除いて同じ状態）になり、どちらの道かの情報が環境から消えたからである。このように有限の環境では干渉が戻ることがある。第4部第5章の Lindblad 方程式は非対角要素を単調に減らすだけなので、この戻りを書くことができない。

木下の勉強ステータス

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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