振動子の熱浴：Caldeira–Leggett 模型と2つの核

量子力学の様々な構成方法　第4部 第6章 §4.6.3　★★★ 環境が熱平衡の振動子の集まりで系と線形に結合するとき、影響汎関数はスペクトル密度 $J(\omega)$ の摩擦の核と雑音の核で厳密に決まる。Ohm 型・高温では時間について局所的になり、Caldeira–Leggett の主方程式が出る

模型

系を振動子の熱浴につなぐ模型として

$$\hat H=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x)+\sum_k\bigg[\frac{\hat p_k^2}{2m_k}+\frac{m_k\omega_k^2}{2}\Big(\hat q_k-\frac{c_k\hat x}{m_k\omega_k^2}\Big)^2\bigg]\tag{4.6.8}$$

を取る。括弧を開くと、結合 $-\hat x\sum_kc_k\hat q_k$ と、系の側の2次の項 $\hat x^2\sum_kc_k^2/(2m_k\omega_k^2)$ が出る。後者は結合が系のポテンシャルを引き下げる分を打ち消すために入れた項（くりこみの項）で、これがあると熱浴をつないでも系の静的なポテンシャルが変わらない。振動子の分布はスペクトル密度

$$J(\omega)=\frac\pi2\sum_k\frac{c_k^2}{m_k\omega_k}\,\delta(\omega-\omega_k)\tag{4.6.9}$$

でまとめる。古典の版は『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第3部第9章（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第3部第9章）で扱われ、振動子を消去すると記憶の核 $K(\tau)=\frac2\pi\int_0^\infty\frac{J(\omega)}{\omega}\cos\omega\tau\,\mathrm{d}\omega$ の一般化 Langevin 方程式が出ること、$J(\omega)=m\gamma\omega$（Ohm 型）なら摩擦 $-m\gamma\dot x$ になることが示されている。この章の記号はそれに揃える。この模型を量子の Brown 運動に使ったのは Caldeira and Leggett (1983), Physica A 121, 587 で、影響汎関数を閉じた形で計算した。

振動子1個の影響汎関数

まず環境が振動子1個（質量 $m_k$、角周波数 $\omega_k$、温度 $T$ の熱平衡）で、系の経路から力 $f(s)=c_kx(s)$ を受ける場合を計算する。相互作用描像の座標 $\hat q_k(s)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat H_{\mathrm E}s/\hbar}\hat q_k\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat H_{\mathrm E}s/\hbar}$ を使うと、(4.6.7) は

$$F=\operatorname{Tr}\Big[\bar{\mathcal T}\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^tf'(s)\hat q_k(s)\mathrm{d} s}\;\mathcal T\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^tf(s)\hat q_k(s)\mathrm{d} s}\;\hat\rho_\beta\Big]$$

になる（$\bar{\mathcal T}$ は逆の時間順序、$f'=c_kx'$。$\hat H_{\mathrm E}$ の部分は前後で打ち消す）。指数を2次まで展開すると、前向きの2次の項は $-\hbar^{-2}\iint_{u<s}f(s)f(u)\alpha(s-u)$、後ろ向きの2次の項は $-\hbar^{-2}\iint_{u<s}f'(s)f'(u)\alpha(s-u)^*$、前後の交差の項は $+\hbar^{-2}\iint_{u<s}[f'(s)f(u)\alpha(s-u)+f(s)f'(u)\alpha(s-u)^*]$ である。ここで

$$\alpha(\tau)=\operatorname{Tr}[\hat q_k(\tau)\hat q_k(0)\hat\rho_\beta]=\frac{\hbar}{2m_k\omega_k}\Big[\coth\frac{\beta\hbar\omega_k}{2}\cos\omega_k\tau-\mathrm{i}\sin\omega_k\tau\Big]\tag{4.6.10}$$

は熱平衡の振動子の相関関数である（$\hat q_k(\tau)=\sqrt{\hbar/(2m_k\omega_k)}(\hat a\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_k\tau}+\hat a^\dagger\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_k\tau})$ と $\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =\bar n$ から出る）。3つをまとめると

$$\ln F=-\frac1{\hbar^2}\int_0^t\mathrm{d} s\int_0^s\mathrm{d} u\,[f(s)-f'(s)]\big[\alpha(s-u)f(u)-\alpha(s-u)^*f'(u)\big]$$

になる。$\hat q_k(s)$ は $\hat a$、$\hat a^\dagger$ について1次で、$\hat\rho_\beta$ は Gauss 型の状態なので、Wick の定理により3次以上のキュムラントはすべて $0$ で、この式は2次で打ち切った近似でなく厳密である（verify では、振動子の Fock 空間で時間順序の積を直接計算した $F$ とこの式を、折れ線の経路について6桁まで照合した）。$\alpha$ を実部と虚部に分け、$f-f'=c_k\xi$、$f+f'=c_k\Sigma$ と書けば、振動子を全部掛け合わせて（命題 4.6.1 (iv)）、(4.6.9) により

$$\ln F[x,x']=-\frac1\hbar\int_0^t\mathrm{d} s\int_0^s\mathrm{d} u\;\xi(s)\,\nu(s-u)\,\xi(u)+\frac{\mathrm{i}}\hbar\int_0^t\mathrm{d} s\int_0^s\mathrm{d} u\;\xi(s)\,\eta(s-u)\,\Sigma(u)\tag{4.6.11}$$

$$\nu(\tau)=\frac1\pi\int_0^\infty J(\omega)\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2}\cos\omega\tau\,\mathrm{d}\omega,\qquad \eta(\tau)=\frac1\pi\int_0^\infty J(\omega)\sin\omega\tau\,\mathrm{d}\omega\tag{4.6.12}$$

を得る（くりこみの項は別に扱う）。$\nu$ を雑音の核、$\eta$ を散逸の核と呼ぶ。雑音の核は差 $\xi$ の2次で実の減衰を、散逸の核は $\xi$ と重心 $\Sigma$ の積で位相を与える。温度は $\nu$ の $\coth$ にだけ入り、温度 $0$ でも $\coth\to1$ で $\nu$ は消えない（零点の揺らぎ）。

摩擦の核と、くりこみの項

散逸の核は記憶の核 $K(\tau)$ の微分 $\eta(\tau)=-\tfrac12K'(\tau)$ で、$\tfrac12K(0)=\frac1\pi\int J/\omega\,\mathrm{d}\omega=\sum_kc_k^2/(2m_k\omega_k^2)$ はくりこみの項の係数に等しい。(4.6.11) の第2項の $u$ の積分を部分積分すると

$$\int_0^s\mathrm{d} u\,\eta(s-u)\Sigma(u)=\tfrac12K(0)\Sigma(s)-\tfrac12K(s)\Sigma(0)-\tfrac12\int_0^s K(s-u)\dot\Sigma(u)\,\mathrm{d} u$$

となる。くりこみの項は2本の経路に $\mp\frac{\mathrm{i}}\hbar\int\tfrac12K(0)x^2$、$\pm$ で入るので、まとめて $-\frac{\mathrm{i}}\hbar\int\tfrac12K(0)\xi\Sigma\,\mathrm{d} s$ になり、右辺の第1項とちょうど打ち消し合う。残るのは

$$\ln F[x,x']=-\frac1\hbar\int_0^t\!\mathrm{d} s\int_0^s\!\mathrm{d} u\;\xi(s)\nu(s-u)\xi(u)-\frac{\mathrm{i}}{2\hbar}\int_0^t\!\mathrm{d} s\;\xi(s)\Big[\int_0^s K(s-u)\dot\Sigma(u)\,\mathrm{d} u+K(s)\Sigma(0)\Big]\tag{4.6.13}$$

である。最後の $K(s)\Sigma(0)$ は初めの時刻に熱浴を急につないだことから来る項で、$s$ が熱浴の相関時間を過ぎると消える（初めの滑りと呼ぶ）。Ohm 型 $J(\omega)=m\gamma\omega$（遮断周波数 $\omega_{\mathrm c}$ より十分低い周波数で）では $K(\tau)\to2m\gamma\delta(\tau)$ なので、$\int_0^sK(s-u)\dot\Sigma(u)\mathrm{d} u\to m\gamma\dot\Sigma(s)$（$\delta$ 関数の半分が積分区間に入る）で、位相は $-\frac{\mathrm{i} m\gamma}{2\hbar}\int\xi\dot\Sigma\,\mathrm{d} s$ になる。これは経路 $x$ には摩擦の力 $-m\gamma\dot x$、経路 $x'$ には $-m\gamma\dot x'$ が掛かったときの作用の変化の、$\xi$ について1次の部分に当たる。

高温の極限と Caldeira–Leggett の主方程式

温度が $k_{\mathrm B} T\gg\hbar\omega_{\mathrm c}$ を満たすと、$\coth(\beta\hbar\omega/2)\approx2 k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega)$ がすべての $\omega$ で使え、雑音の核は$\nu(\tau)\to\frac{2 k_{\mathrm B} T}{\pi\hbar}\int_0^\infty m\gamma\cos\omega\tau\,\mathrm{d}\omega=\frac{2m\gamma k_{\mathrm B} T}{\hbar}\delta(\tau)$ になる。初めの滑りを無視すると、影響汎関数は時間について局所的な

$$F[x,x']=\exp\!\Big[-\frac{\mathrm{i} m\gamma}{2\hbar}\int_0^t\xi\dot\Sigma\,\mathrm{d} s-\frac{m\gamma k_{\mathrm B} T}{\hbar^2}\int_0^t\xi^2\,\mathrm{d} s\Big]\tag{4.6.14}$$

になる。局所的な因子は時刻の区間ごとに分かれるので、第3部第5章（第3部第5章）と同じく1区間 $\epsilon$ の核を展開すれば、密度行列の微分方程式が得られる。雑音の項は1区間で $\rho$ に $1-(m\gamma k_{\mathrm B} T/\hbar^2)\xi^2\epsilon$ を掛ける。摩擦の項では、1区間の速度 $(x_{n+1}-x_n)/\epsilon$ に $m$ を掛けたものが、$K$ の Gauss 因子に掛かると $-\mathrm{i}\hbar\partial_{x_{n+1}}$ と同じ働きをする（$\partial_{x_{n+1}}\mathrm{e}^{\mathrm{i} m(x_{n+1}-x_n)^2/(2\hbar\epsilon)}=\frac{\mathrm{i} m}{\hbar\epsilon}(x_{n+1}-x_n)\mathrm{e}^{\cdots}$）。後ろ向きの経路では $K^*$ なので $+\mathrm{i}\hbar\partial_{x'_{n+1}}$ になる。したがって $m\dot\Sigma\leftrightarrow-\mathrm{i}\hbar(\partial_x-\partial_{x'})$ で、位置表示で

$$\partial_t\rho(x,x',t)=(\text{系だけの項})-\frac\gamma2(x-x')(\partial_x-\partial_{x'})\rho-\frac{m\gamma k_{\mathrm B} T}{\hbar^2}(x-x')^2\rho$$

を得る。演算子に戻すと（$(x-x')\rho\leftrightarrow\left[\hat x,\,\hat\rho\right]$、$-\mathrm{i}\hbar(\partial_x-\partial_{x'})\rho\leftrightarrow\{\hat p,\hat\rho\}_{+}$）、

$$\frac{\mathrm{d} \hat\rho}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{i}}\hbar\left[\hat H_{\mathrm S},\,\hat\rho\right]-\frac{\mathrm{i}\gamma}{2\hbar}\left[\hat x,\,\{\hat p,\hat\rho\}_{+}\right]-\frac{m\gamma k_{\mathrm B} T}{\hbar^2}\left[\hat x,\,\left[\hat x,\,\hat\rho\right]\right]\tag{4.6.15}$$

になる。これが Caldeira–Leggett の主方程式である（Caldeira and Leggett 1983 の式を、摩擦の速さ $\gamma$ を $J=m\gamma\omega$ で定める流儀に書き直した）。$\xi$ を左右のどの時刻で評価するかの選び方は第3部第2章の評価点の問題と同じ形で残り、(4.6.15) は $\hat\rho$ のエルミート性を保つ選び方に当たる。

(4.6.15) の各項の役割は、期待値の式で確かめることができる。調和な $V=m\omega_0^2x^2/2$ では

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d} \langle \hat p \rangle }{\mathrm{d} t}=-m\omega_0^2\langle \hat x \rangle -\gamma\langle \hat p \rangle ,\qquad \frac{\mathrm{d} \langle \hat p^2 \rangle }{\mathrm{d} t}=-2m\omega_0^2C-2\gamma\langle \hat p^2 \rangle +2m\gamma k_{\mathrm B} T,\\ \frac{\mathrm{d} \langle \hat x^2 \rangle }{\mathrm{d} t}=\frac{2C}m,\qquad \frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} t}=\frac{\langle \hat p^2 \rangle }m-m\omega_0^2\langle \hat x^2 \rangle -\gamma C \end{gathered}\tag{4.6.16}$$

（$C=\langle \{\hat x,\hat p\}_{+} \rangle /2$）が成り立つ。第2項が摩擦、第3項が熱浴からの加熱で、定常では $\langle \hat p^2 \rangle =m k_{\mathrm B} T$、$\langle \hat x^2 \rangle = k_{\mathrm B} T/(m\omega_0^2)$ の古典の等分配になる。密度行列の非対角要素は、雑音の項だけで $\rho(x,x')\propto\exp[-(m\gamma k_{\mathrm B} T/\hbar^2)(x-x')^2t]$ と減る。間隔 $\Delta x$ の2点の重ね合わせが干渉を失う速さは

$$\Gamma_{\mathrm{dec}}=\frac{m\gamma k_{\mathrm B} T\,\Delta x^2}{\hbar^2}=\gamma\,\frac{\Delta x^2}{2\lambda_{\mathrm{th}}^2},\qquad \lambda_{\mathrm{th}}=\frac{\hbar}{\sqrt{2m k_{\mathrm B} T}}\tag{4.6.17}$$

で、摩擦でエネルギーが失われる速さ $\gamma$ に比べ $(\Delta x/\lambda_{\mathrm{th}})^2$ の桁で速い。