橋：経路積分 × 密度行列

量子力学の様々な構成方法　第4部 第6章 §4.6.6　★★★ 影響汎関数は「基準の大きな閉じた系」から作られ、逆に Gauss 型の影響汎関数は振動子の熱浴で必ず実現することができる。重心と差に分けると、$\xi$ の1次が古典の Langevin 方程式、Fourier 変換すると位相空間の Kramers 方程式になる

地図の上の位置

同値性の地図（第1部第1章）の「経路積分 × 密度行列」の橋は、開放系の時間発展を2つの構成の言葉で同時に書くものだった。この章で示したことを、3つの構成の対応として並べる。

両向きの対応

基準 → 影響汎関数の向きは、第4.6.2節の導出そのものである。系と環境の全体を状態ベクトル（または混合なら浄化した状態ベクトル）で (D3) どおり発展させ、系の位置の完全系を挟んで環境を部分トレースすれば (4.6.6) になる。命題 4.6.1 の (v) は、その途中に現れる環境の状態の重なりを名指ししたものである。このとき写像 $\rho_{\mathrm S}(0)\mapsto\rho_{\mathrm S}(t)$ は第4部第5章の Stinespring 表示 $\operatorname{Tr}_{\mathrm E}[\hat U(\hat\rho\otimes\hat\rho_{\mathrm E})\hat U^\dagger]$ と同じものなので、影響汎関数から作った時間発展はいつも CPTP である。

逆向き、すなわち与えられた影響汎関数を環境で実現できるかについては、Gauss 型の場合に次のことを言うことができる。(4.6.11) の形の $F$ で、雑音の核と散逸の核が同じ $J(\omega)\ge0$ から (4.6.12) で作られているなら、(4.6.9) を満たす振動子の組（$J$ を細かい $\delta$ 関数の和で近似する）を選べば、その振動子の熱浴がちょうどこの $F$ を与える。2つの核が同じ $J$ に由来すること、つまり $\nu$ の Fourier 成分が $J(\omega)\coth(\beta\hbar\omega/2)$、$\eta$ の Fourier 成分が（虚数単位と符号を除いて）$J(\omega)$ で、両者の比が $\coth(\beta\hbar\omega/2)$ になっていることが揺動散逸定理で、これを破った $F$ は熱平衡の環境では作ることができない。線形応答の範囲の環境（抵抗・電磁場の真空・フォノン）が、どれも振動子の熱浴で置き換えられるのはこのためである。Feynman and Vernon (1963) は線形の散逸系の効果を古典の揺らぐ力に置き換える議論を行い、電気回路では Johnson–Nyquist の雑音の関係になることを述べている。

古典の Langevin 方程式と位相空間

(4.6.19) は、学部の統計力学で習う Langevin 方程式

$$m\ddot x=-V'(x)-m\gamma\dot x+\zeta(t),\qquad \langle \zeta(s)\zeta(u) \rangle =2m\gamma k_{\mathrm B} T\,\delta(s-u)$$

と並べると、雑音の相関が $\hbar\nu(\tau)$ に置き換わった形をしている。高温で $\hbar\nu\to2m\gamma k_{\mathrm B} T\delta$ なので2つは一致し、『解析力学から様々な理論分野を組み立てる』第3部第9章の第2種の揺動散逸定理 $\langle \zeta\zeta \rangle = k_{\mathrm B} TK$ が、量子では $\hbar\nu$ に変わることが分かる。一般の $V$ では、(4.6.4) の $\xi^3$ 以上の項を捨てると同じ方程式になる。捨てた項は $\hbar^2V'''$ の桁の量子補正で、2次の系では厳密に $0$ である。

密度行列を $\xi$ について Fourier 変換したものは、第5部（第5部第2章）の Wigner 関数 $W(X,p)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int\rho(X+\tfrac\xi2,X-\tfrac\xi2)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\xi/\hbar}\mathrm{d}\xi$ である。この変換で $\xi\rho\to\mathrm{i}\hbar\partial_pW$、$\xi\partial_\xi\rho\to-\partial_p(pW)$ になるので、位置表示の (4.6.15) の2つの項（$\partial_x-\partial_{x'}=2\partial_\xi$）は

$$\frac{\partial W}{\partial t}=-\frac pm\frac{\partial W}{\partial X}+V'(X)\frac{\partial W}{\partial p}+\gamma\frac{\partial }{\partial p}(pW)+m\gamma k_{\mathrm B} T\frac{\partial^2W}{\partial p^2}\qquad(V\ \text{が2次のとき})\tag{4.6.24}$$

になる。これは古典の位相空間の確率分布に対する Kramers の方程式と同じ形で、第4部第5章の橋の節の振動子の Fokker–Planck 方程式と並ぶ。Diósi の項は $W$ の式に $\frac{\gamma\hbar^2}{16m k_{\mathrm B} T}\partial_X^2W$ を足し、位置の方向にもわずかな拡散を入れる。

最後に虚時間との関係を述べる。系と熱浴の全体の熱平衡から系の縮約した分配関数を作ると、熱浴の振動子は虚時間の経路積分の中で Gauss 積分で消え、系の Euclid 作用に $(x(\tau)-x(\tau'))^2/(\tau-\tau')^2$ の形の時間について非局所な項が加わる。第3部第7章（第3部第7章）の瞬間子をこの作用で求め直すと、Ohm 型の摩擦がトンネルの確率を下げることが分かる（Caldeira and Leggett 1983, Ann. Phys. 149, 374）。実時間の影響汎関数と虚時間の非局所の作用は、同じ振動子の熱浴を経路積分の中で積分したものの2つの姿である。