逆向き：位相空間の関数から演算子を作る

量子力学の様々な構成方法　第5部 第2章 §5.2.2　★★★ Wigner 変換は Fourier 変換なので逆を書くことができる。$W$ から $\hat\rho$ が元どおりに復元できる

逆の写像

Wigner 変換 (5.2.2) は、中点 $x$ を止めると差 $y$ についての Fourier 変換である。Fourier 変換は逆変換を持つので

$$\langle x-\tfrac y2 | \hat A | x+\tfrac y2 \rangle =\int\frac{\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,A_W(x,p)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} py/\hbar} .$$

左辺を元の座標 $x'=x-y/2$、$x''=x+y/2$ に戻すと $y=x''-x'$、$x=(x'+x'')/2$ で、次の式を得る。

作り方から、$\mathcal Q_{\mathrm W}$ と Wigner 変換は互いに逆である。

$$\mathcal Q_{\mathrm W}[A_W]=\hat A,\qquad \bigl(\mathcal Q_{\mathrm W}[f]\bigr)_W=f .\tag{5.2.7}$$

名前の由来は H. Weyl が 1927 年の論文（H. Weyl (1927)、Z. Phys. 46、1–46）で、古典の関数から演算子を作る規則としてこの対応を（次の 5.2.4 節の Fourier 展開の形で）導入したことにある。Wigner の 1932 年の関数がその逆向きの写像を状態に当てたものであることは、H. J. Groenewold の学位論文（H. J. Groenewold (1946)、Physica 12、405–460）で明確にされた。

密度行列に当てると、(5.2.3) から $\hat\rho=\mathcal Q_{\mathrm W}[2\pi\hbar\,W]$、つまり

$$\langle x' | \hat\rho | x'' \rangle =\int\mathrm{d} p\,W\Bigl(\frac{x'+x''}{2},p\Bigr)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} p(x'-x'')/\hbar}\tag{5.2.8}$$

である。純粋状態ならこれが $\psi(x')\psi^*(x'')$ に等しく、$x''$ を1点に固定すれば $\psi(x')$ が全体の位相を除いて読み取ることができる。$W$ を知っていれば $\hat\rho$ のすべての行列要素が分かるので、$W$ は状態の情報を何も失っていない。

実数とエルミート、トレースと積分

Weyl 対応は、演算子の基本的な性質を関数の性質へ写す。

証明

$\langle x' | \hat A^\dagger | x'' \rangle =\langle x'' | \hat A | x' \rangle ^*$ なので

$$(\hat A^\dagger)_W=\int\langle x+\tfrac y2 | \hat A | x-\tfrac y2 \rangle ^*\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} py/\hbar}\,\mathrm{d} y =\Bigl(\int\langle x+\tfrac y2 | \hat A | x-\tfrac y2 \rangle \,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} py/\hbar}\,\mathrm{d} y\Bigr)^* .$$

括弧の中で $y\to-y$ と替えると (5.2.2) の $A_W$ に戻る。後半は、Wigner 変換が1対1であることから$\hat A^\dagger=\hat A\iff(\hat A^\dagger)_W=A_W\iff A_W^*=A_W$。

トレースは対角成分の和なので、$y=0$ の成分だけが寄与する。(5.2.6) で $x'=x''=x$ と置いて $x$ で積分すると

$$\operatorname{Tr}\hat A=\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,A_W(x,p)\tag{5.2.9}$$

を得る。演算子のトレースは、記号を相空間で積分して面積 $2\pi\hbar$ で割ったものである。$\hat\rho$ に当てれば $\operatorname{Tr}\hat\rho=\int W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=1$ で、前の章の規格化 (W1) が出る。$2\pi\hbar$ は前の章で「状態1つが占める面積」として現れた量で、学部の統計力学で古典の分配関数に入れる $1/h$ と同じものである。