トレースの公式と、どの関数が状態か

(1) $\hat p^2\hat x^2=(\hat x^2\hat p^2)^\dagger$ なので、命題 5.2.4 から $(\hat p^2\hat x^2)_W=x^2p^2-2\mathrm{i}\hbar xp-\hbar^2/2$。平均すると虚部が消えて $C_W=x^2p^2-\hbar^2/2$。

(2) $W_0$ は $x$ と $p$ について独立な Gauss 関数で、$\int x^2W_0=\hbar/(2m\omega)$、$\int p^2W_0=m\hbar\omega/2$。よって

$$\langle \hat C \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\cdot\frac{m\hbar\omega}{2}-\frac{\hbar^2}{2}=\frac{\hbar^2}{4}-\frac{\hbar^2}{2}=-\frac{\hbar^2}{4}.$$

位置表示で $\hat C\psi_0$ を微分して直接計算しても同じ値になる（検算で確かめた）。

(3) 古典の関数の平均は $\int x^2p^2W_0=\hbar^2/4$ で、$\langle \hat x^2 \rangle \langle \hat p^2 \rangle$ と同じく正である。$\hat x^2$ と $\hat p^2$ はどちらも正の演算子だが、交換しないのでその対称化した積は正の演算子でなく、基底状態での期待値は負になる。その差 $-\hbar^2/2$ がちょうど記号の $\hbar^2$ の項である。位相空間で期待値を計算するときは、物理量を古典の関数のまま使ってよいのではなく、その演算子の Weyl 記号を使わなければならない。

(1) $\int W_g^2=\frac{1}{(2\pi\sigma_x\sigma_p)^2}\cdot\sqrt{\pi}\sigma_x\cdot\sqrt\pi\sigma_p=\frac{1}{4\pi\sigma_x\sigma_p}$ なので

$$2\pi\hbar\int W_g^2\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac{\hbar}{2\sigma_x\sigma_p}.$$

$W_g$ が密度行列 $\hat\rho$ の Wigner 関数なら、これは $\operatorname{Tr}\hat\rho^2$ で、$1$ 以下でなければならない（第4部第1章の純粋度）。$\sigma_x\sigma_p<\hbar/2$ なら $1$ を超えるので矛盾する。等号 $\sigma_x\sigma_p=\hbar/2$ で純粋度がちょうど $1$ になり、そのとき $W_g$ は Gauss 波束（調和振動子の基底状態を伸縮したもの）の $W$ である。不確定性関係の下限が、位相空間では「Gauss 関数の幅の積の下限」として現れる。

(2) 同じ $\sigma_x$ を持つ最小の Gauss 波束 $\varphi$、つまり $W_\varphi=\frac{1}{\pi\hbar}\exp\bigl(-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}-\frac{2\sigma_x^2p^2}{\hbar^2}\bigr)$ を取る。$\sigma_p=\hbar/(4\sigma_x)$ では $W_g$ の指数の $p^2$ の係数は $1/(2\sigma_p^2)=8\sigma_x^2/\hbar^2$ である。積 $W_gW_\varphi$ の指数は、$x^2$ の係数が$1/(2\sigma_x^2)+1/(2\sigma_x^2)=1/\sigma_x^2$、$p^2$ の係数が $(8+2)\sigma_x^2/\hbar^2=10\sigma_x^2/\hbar^2$ で、

$$\int\mathrm{e}^{-x^2/\sigma_x^2}\mathrm{d} x=\sqrt\pi\,\sigma_x,\qquad \int\mathrm{e}^{-10\sigma_x^2p^2/\hbar^2}\mathrm{d} p=\frac{\sqrt\pi\,\hbar}{\sqrt{10}\,\sigma_x}.$$

前の係数は $2\pi\hbar\cdot\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_p}\cdot\frac{1}{\pi\hbar}=\frac{1}{\pi\sigma_x\sigma_p}=\frac{4}{\pi\hbar}$ なので、全体は

$$2\pi\hbar\int W_gW_\varphi\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\frac{4}{\pi\hbar}\cdot\frac{\pi\hbar}{\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}=1.265$$

である。

これは「確率」$\langle \varphi | \hat\rho | \varphi \rangle$ に当たる量なのに $1$ を超えている。$\hat\rho$ が密度行列なら $\langle \varphi | \hat\rho | \varphi \rangle \le\operatorname{Tr}\hat\rho=1$ なので（$\hat\rho\ge0$ のとき、1つの規格化ベクトルでの値は固有値の和を超えない）、$W_g$ は状態でない。$\mathcal Q_{\mathrm W}[2\pi\hbar W_g]$ は、固有値の和が $1$ で最大の固有値が $1$ を超える演算子、つまり負の固有値を持つ演算子である。