Weyl 対応は対称な並べ方である

量子力学の様々な構成方法　第5部 第2章 §5.2.4　★★ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}$ は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar}$ に写る。そこから Weyl 順序・特性関数・1次結合の分布が一度に出る

指数関数の記号

正準量子化の処方では、古典の関数 $xp$ を演算子にするときに $\hat x\hat p$ とするか $\hat p\hat x$ とするかの選択が残っていた（第2部第2章）。Weyl 対応がこの選択をどう決めているかは、指数関数の記号を見ると分かる。

証明

$\left[\mathrm{i} a\hat x/\hbar,\,\mathrm{i} b\hat p/\hbar\right]=-\mathrm{i} ab/\hbar$ は数なので、Baker–Campbell–Hausdorff の公式が2項で止まり

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a\hat x/\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat p/\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/(2\hbar)} .$$

$\mathrm{e}^{\mathrm{i} b\hat p/\hbar}$ は波動関数を $\psi(x)\mapsto\psi(x+b)$ とずらす演算子なので、$\langle x' | \mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar} | x'' \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/(2\hbar)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} ax'/\hbar}\,\delta(x'+b-x'')$。(5.2.2) に入れると $\delta(x-\tfrac y2+b-x-\tfrac y2)=\delta(b-y)$ で $y=b$ に落ち、

$$\mathrm{e}^{\mathrm{i} ab/(2\hbar)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} a(x-b/2)/\hbar}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} pb/\hbar}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar} .$$

指数関数は位相空間の Fourier 変換の基底なので、命題 5.2.7 と線形性から、一般の関数 $f$ の Weyl 量子化は

$$\mathcal Q_{\mathrm W}[f]=\int\frac{\mathrm{d} a\,\mathrm{d} b}{(2\pi\hbar)^2}\,\tilde f(a,b)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar},\qquad \tilde f(a,b)=\int f(x,p)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.2.13}$$

とも書ける。Weyl の 1927 年の定義はこの形である。

Weyl 順序

命題 5.2.7 の両辺を $a$、$b$ について展開し、$a^jb^k$ の係数を比べると、多項式の量子化の規則が得られる。$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}$ の $n$ 次の項は $(\mathrm{i}/\hbar)^n(ax+bp)^n/n!$、演算子の側は $(\mathrm{i}/\hbar)^n(a\hat x+b\hat p)^n/n!$ なので

$$\mathcal Q_{\mathrm W}\bigl[(ax+bp)^n\bigr]=(a\hat x+b\hat p)^n .\tag{5.2.14}$$

右辺を展開すると、$\hat x$ を $j$ 個、$\hat p$ を $k$ 個含む項は、その並べ方 $\binom{n}{j}$ 通りすべてが同じ重みで現れる。左辺の $x^jp^k$ の係数も $\binom nj a^jb^k$ なので、

$$\mathcal Q_{\mathrm W}[x^jp^k]=\frac{1}{\binom{j+k}{j}}\sum_{\text{並べ方}}\bigl(\hat x\ \text{を}\ j\ \text{個、}\hat p\ \text{を}\ k\ \text{個並べた積}\bigr)\tag{5.2.15}$$

を得る。これが Weyl 順序で、$\hat x$ と $\hat p$ の並べ方をすべて同じ重みで平均する規則である。$xp$ なら $\tfrac12(\hat x\hat p+\hat p\hat x)$ で、例題 5.2.1 と一致する。並べ方の平均はエルミート共役で不変なので、実数の多項式はエルミートな演算子に写り、命題 5.2.4 と矛盾しない。2次以下の多項式に制限した Weyl 量子化が、Poisson 括弧を交換子に写す規則を満たすただ1つの量子化であることは 第10部第1章で示されている。

特性関数と、1次結合の分布

確率論では、分布はその特性関数（Fourier 変換）で決まる。量子の状態についても

$$\chi(a,b)=\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a\hat x+b\hat p)/\hbar}\bigr)\tag{5.2.16}$$

を考えると、命題 5.2.7 とトレースの公式 (5.2.11) から

$$\chi(a,b)=\int W(x,p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ax+bp)/\hbar}\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.2.17}$$

となる。Wigner 関数は、量子の特性関数 $\chi$ を古典の分布と同じ公式で Fourier 逆変換したものである。古典との違いは、$\chi$ が「同時に測れる量の特性関数」ではなく、交換しない $\hat x$ と $\hat p$ を1次結合した1つの演算子 $a\hat x+b\hat p$ の特性関数を、$(a,b)$ ごとに集めたものだという点にある。

この式から、前の章で予告した性質が出る。1次結合 $\hat u=a\hat x+b\hat p$ の値 $u$ の確率密度を $P_{a,b}(u)$ とすると、その特性関数は$\int P_{a,b}(u)\mathrm{e}^{\mathrm{i} ku}\mathrm{d} u=\langle \mathrm{e}^{\mathrm{i} k\hat u} \rangle =\chi(\hbar ka,\hbar kb)=\int W\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} k(ax+bp)}\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p$。両辺の Fourier 逆変換を取れば

$$P_{a,b}(u)=\int W(x,p)\,\delta(u-ax-bp)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p\tag{5.2.18}$$

である。どの1次結合の分布も、$W$ を直線 $ax+bp=u$ に沿って積分すれば得られる。古典の分布と同じ性質で、周辺分布 (W3) はその $(a,b)=(1,0)$、$(0,1)$ の場合である。逆に、すべての向きの $P_{a,b}$ を測れば (5.2.18) を解いて $W$ を、したがって $\hat\rho$ を復元することができる。この手続きは光のホモダイン測定で状態を決める方法の原理になっている（K. Vogel・H. Risken (1989)、Phys. Rev. A 40、2847–2849）。光の場合の詳細は 第5部第6章で扱う。