線形の正準変換と、共通例題③

量子力学の様々な構成方法　第5部 第2章 §5.2.5　★★★ ハミルトニアンが2次以下なら $W$ は古典の流れに乗って運ばれるだけ。自由粒子の波束の広がりは $W$ の剪断として読める

特性関数で時間発展を求める

時間発展を位相空間で書くには、一般には $\star$ 積が要る（第5部第3章）。しかし Heisenberg 方程式が $\hat x$、$\hat p$ について線形に閉じる場合は、特性関数 (5.2.16) を使ってこの章の道具だけで解くことができる。

$\det M=1$ は2次元での「シンプレクティック」（$M^{\mathsf T}JM=J$、$J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$）の条件で、相空間の面積が保たれることを表す。ハミルトニアンが $\hat x$、$\hat p$ の2次以下なら、Heisenberg 方程式（第2部第3章）は古典の Hamilton 方程式と同じ線形の方程式になり、$M(t)$ は古典の流れの行列そのものである。(5.2.19) は、各点が古典の軌道に沿って動くという Liouville 方程式の解と同じ形で、2次以下のハミルトニアンでは位相空間の量子力学と古典の統計力学の時間発展が完全に一致する。調和振動子なら$M(t)=\begin{pmatrix}\cos\omega t&\sin\omega t/(m\omega)\\-m\omega\sin\omega t&\cos\omega t\end{pmatrix}$ で、$W$ は（$x$ と $p/(m\omega)$ の平面で）形を変えずに回転する。

共通例題③：自由粒子の波束の広がり

自由粒子 $\hat H=\hat p^2/(2m)$ では $\hat x_{\mathrm H}(t)=\hat x+\hat pt/m$、$\hat p_{\mathrm H}(t)=\hat p$ で、$M=\begin{pmatrix}1&t/m\\0&1\end{pmatrix}$。(5.2.19) から

$$W_t(x,p)=W_0\Bigl(x-\frac{pt}{m},\,p\Bigr)\tag{5.2.20}$$

となる。各運動量の成分は運動量に比例した距離だけ進み、$W$ は $p$ 方向の位置に応じて横にずらされる（剪断される）。$W$ の形は変わらず、値の範囲も保たれる。初めの波束を、位置の分散 $\sigma_0^2$、運動量の分散 $\hbar^2/(4\sigma_0^2)$、相関の無い Gauss 波束とする。$t$ での位置は $x=x_0+p_0t/m$ の分布で、分散は

$$\sigma(t)^2=\sigma_0^2+\Bigl(\frac tm\Bigr)^2\frac{\hbar^2}{4\sigma_0^2}=\sigma_0^2+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0}\Bigr)^2\tag{5.2.21}$$

となる。これは共通例題③の正答の形そのものである。同時に $x$ と $p$ の相関 $\langle xp \rangle =(t/m)\hbar^2/(4\sigma_0^2)$ が生まれ、波束は前の章のチャープした波束になる（速い成分ほど前にいる）。図 5.2.2 がこの様子である。

図 5.2.2　自由粒子の Gauss 波束の Wigner 関数の等高線（$W$ が最大値の $\mathrm{e}^{-r^2/2}$ 倍になる線、$r=0.75$ と $1.5$）。$\tau=2m\sigma_0^2/\hbar$ として、灰色が $t=0$、黒が $t=2\tau$。どちらも厳密な解で、$W$ は剪断 (5.2.20) で運ばれるだけである。面積は変わらず、$x$ への射影（位置の分布）の幅は $\sqrt5$ 倍に広がる。

基準の言葉では、この結果は自由粒子の伝播関数 $K=\sqrt{m/(2\pi\mathrm{i}\hbar t)}\exp\bigl(\mathrm{i} m(x_f-x_i)^2/(2\hbar t)\bigr)$ で波動関数を時間発展させ、その $\lvert \psi_t\rvert ^2$ の分散を計算して得られる（経路積分による計算は 第3部第3章）。位相空間では積分をせずに、座標の付け替えだけで同じ式に着く。検算では、時間発展させた Gauss 波束の $W$ を定義の積分で数値計算し、(5.2.20) の右辺と $10^{-9}$ の精度で一致することを確かめた。