橋：密度行列と位相空間の辞書

量子力学の様々な構成方法　第5部 第2章 §5.2.6　★★★ 密度行列 ↔ 位相空間の橋を辞書の形にまとめる。両向きの証明はこの章の 5.2.2〜5.2.3 節

辞書

計画の同値性の地図で、この章は「密度行列 ↔ 位相空間」の橋に当たる。その橋の中身をこの章で示した対応として並べると、次の表になる。左の列は第4部（第4部第1章）の要請 (D1)〜(D5) の言葉、右の列が位相空間の言葉である。

橋の両向きは次のとおりにそろった。密度行列から位相空間へは、$\hat\rho\mapsto W$ が実数値・規格化・(iii) の条件を満たす関数に写り、どの期待値も $\int WA_W$ で計算することができる。位相空間から密度行列へは、(i)〜(iii) を満たす関数から (5.2.8) で密度行列を作ることができ、その期待値も同じ式で与えられる（定理 5.2.6）。同じ実験の予言（すべての物理量の期待値と、射影 $\hat P_a$ の記号を使った確率 $\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat P_a)=\int W(P_a)_W$）が両方の構成で一致するので、2つの構成は同値である。

図 5.2.3　この章が架けた橋（上の横の双方向の矢印）と、その周りの橋。実線の横の矢印が Weyl 対応の両向き、破線は描像の変換と、2次以下のハミルトニアンでの古典との一致（命題 5.2.8）。

ほかの部の言葉との対応

正準量子化の「順序の曖昧さ」（第2部第2章）は、位相空間の構成では「物理量にどの関数を割り当てるか」の問題として現れる。Weyl 対応はその選択を (5.2.15) の対称な平均に固定しており、それが状態の側の Wigner 変換と同じ変換になっているため、トレースの公式 (5.2.10) が「関数の積の積分」という対称な形になる。正規順序・反正規順序を選ぶと、状態の側は別の準確率分布（Glauber–Sudarshan の $P$・Husimi の $Q$）になり、期待値の式は $\hat A$ と $\hat\rho$ について対称でなくなる（第5部第6章）。

学部の量子力学の授業では、期待値を $\langle A \rangle =\int\psi^*(x)\,A\bigl(x,-\mathrm{i}\hbar\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\bigr)\psi(x)\,\mathrm{d} x$ と書き、$A$ に $x$ と $p$ が混ざるときは演算子の並べ方を指定してから微分を作用させる。この章の言葉では、その並べ方を指定した演算子の Weyl 記号を作り、$W$ と掛けて積分しても同じ値になる。たとえば $\langle \tfrac12(\hat x\hat p+\hat p\hat x) \rangle$ は学部の形では $\int\psi^*\bigl(-\mathrm{i}\hbar x\psi'-\tfrac{\mathrm{i}\hbar}2\psi\bigr)\mathrm{d} x$ で、位相空間では $\int xp\,W$ である。

トレースの公式からは、直交する2つの状態の Wigner 関数についても1つの制約が出る。$\langle \varphi_1 | \varphi_2 \rangle =0$ なら (5.2.12) から $\int W_1W_2=0$ で、両方が至る所で非負ならこの積分は正になるので、少なくとも一方は負の値を取る。負の値の意味は 第5部第4章で扱う。