この章のまとめ

(1) Wigner 変換は $\psi$ と $\psi^*$ について双線形なので、$N_+^2$ を除くと4つの項$\varphi_\mu(x+y)\varphi_\nu^*(x-y)$（$\mu,\nu=\pm$）の変換の和になる。対角の2項は平行移動の性質（前の章の (W4)）から $W_G(x\mp a,p)$。交差の項 $\varphi_+(x+y)\varphi_-(x-y)=\varphi(x+y-a)\varphi(x-y+a)$ の指数は $-\bigl[(x+y-a)^2+(x-y+a)^2\bigr]/(4\sigma^2)=-\bigl[x^2+(y-a)^2\bigr]/(2\sigma^2)$ で、$y$ を $y+a$ にずらすと原点の波束の積分に $\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} pa/\hbar}$ が掛かった形になり、$W_G(x,p)\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} pa/\hbar}$ を与える。もう一方の交差の項はその複素共役で、足して $2W_G(x,p)\cos(2pa/\hbar)$。2つの波束の真ん中 $x=0$ に、$p$ 方向の周期 $\pi\hbar/a$ の縞が現れる。これが重ね合わせの干渉の位相空間での姿である。

(2) $W_+(0,0)=N_+^2\bigl[2\epsilon+2\bigr]/(\pi\hbar)=1/(\pi\hbar)$（$W_G(\pm a,0)=\epsilon/(\pi\hbar)$）。$\psi_+$ は偶関数でパリティの期待値は $1$ なので一致する。$\psi_-$ では交差の項の符号が逆になり $W_-(0,0)=N_-^2[2\epsilon-2]/(\pi\hbar)=-1/(\pi\hbar)$。$\psi_-$ は奇関数でパリティ $-1$ と一致する。$\psi_-$ は至る所で正の波束2つの重ね合わせなのに、その $W$ は原点で下限 $-1/(\pi\hbar)$ に達する。

(3) $\psi_+$ は純粋状態なので $2\pi\hbar\int W_+^2=1$ である（検算では数値積分で確かめた）。混合状態は $W_{\mathrm{mix}}=\tfrac12[W_G(x-a,p)+W_G(x+a,p)]$ で、(5.2.12) から $2\pi\hbar\int W_G(x-a,p)W_G(x+a,p)=\lvert \langle \varphi_+ | \varphi_- \rangle \rvert ^2=\epsilon^2$。したがって

$$2\pi\hbar\int W_{\mathrm{mix}}^2=\frac14\bigl(1+1+2\epsilon^2\bigr)=\frac{1+\mathrm{e}^{-a^2/\sigma^2}}{2}.$$

$a=2\sigma$ では $(1+\mathrm{e}^{-4})/2=0.5092$。縞の項を消すと純粋度がほぼ半分に下がる。縞が「純粋な重ね合わせ」であるための情報を持っている。

(4) 運動量の分布は $W$ を $x$ で積分したもので、$W_G$ の $p$ の周辺分布は分散 $v=\hbar^2/(4\sigma^2)$ の正規分布である。$\int p^2\cos(kp)\,\mathcal N(0,v)(p)\,\mathrm{d} p=(v-k^2v^2)\mathrm{e}^{-k^2v/2}$ に $k=2a/\hbar$（$k^2v=a^2/\sigma^2$）を入れると、交差の項からの寄与は $2v(1-a^2/\sigma^2)\epsilon$ で、

$$\langle \hat p^2 \rangle _+=v\,\frac{1+(1-a^2/\sigma^2)\epsilon}{1+\epsilon},\qquad \langle \hat p^2 \rangle _{\mathrm{mix}}=v .$$

$a=2\sigma$ では $\epsilon=\mathrm{e}^{-2}=0.1353$ で $\langle \hat p^2 \rangle _+=v(1-3\times0.1353)/1.1353=0.5232\,v$。位置の分布は $W$ を $p$ で積分したもので、縞の項は $\int\cos(2pa/\hbar)W_G\,\mathrm{d} p=\epsilon\,\lvert \varphi(x)\rvert ^2$ を与える。$a=2\sigma$ ではこれは小さいが $0$ でなく、原点付近の位置の分布にも差が出る。$a\gg\sigma$ では $\epsilon\to0$ で位置の分布の差は消え、2つを位置だけで区別することはできない。運動量の分布（縞の向きの射影）には、2つの波束の運動量表示を足して2乗した干渉の縞$2N_+^2\lvert \tilde\varphi(p)\rvert ^2\bigl(1+\cos(2pa/\hbar)\bigr)$ として違いが残る（$\tilde\varphi$ は $\varphi$ の運動量表示）。これは前の章の定理（非負で双線形な分布は無い）の証明に使った干渉項である。

(5) 自由粒子では (5.2.20) から $x_t=x_0+p_0t/m$ の分布で、$\langle \hat x^2 \rangle _t=\langle x^2 \rangle _0+2(t/m)\langle xp \rangle _0+(t/m)^2\langle p^2 \rangle _0$。$\psi_+$ は実数値なので $\int pW\,\mathrm{d} p=\hbar\operatorname{Im}(\psi^*\psi')=0$（前の章の確率流の式）で、$\langle xp \rangle _0=0$。位置の2次モーメントは$\langle x^2 \rangle _0=2N_+^2\bigl[(\sigma^2+a^2)+\sigma^2\epsilon\bigr]=\sigma^2+\dfrac{a^2}{1+\epsilon}$ なので

$$\langle \hat x^2 \rangle _t=\sigma^2+\frac{a^2}{1+\epsilon}+\frac{t^2}{m^2}\,\frac{\hbar^2}{4\sigma^2}\,\frac{1+(1-a^2/\sigma^2)\epsilon}{1+\epsilon}.$$

$\hbar=m=\sigma=1$、$a=2$、$t=3$ では $\langle x^2 \rangle _0=1+4/1.1353=4.523$、$\langle p^2 \rangle _0=0.25\times0.5232=0.1308$ で、$\langle \hat x^2 \rangle _t=4.523+9\times0.1308=5.700$。検算では、波動関数を Fourier 変換で時間発展させて直接計算した値と一致することを確かめた。