この章のまとめ

(1) $\hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat a+\hat a^\dagger)$ で、熱平衡では $\langle \hat a^2 \rangle =\langle \hat a^{\dagger2} \rangle =0$ なので$\langle \hat x^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\langle \hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}(2\langle \hat n \rangle +1)$。$\langle \hat n \rangle =1/(\mathrm{e}^{s}-1)$ から $2\langle \hat n \rangle +1=\coth(s/2)$ で

$$\langle \hat x^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac s2,\qquad \langle \hat p^2 \rangle =\frac{m\hbar\omega}{2}\coth\frac s2$$

（$\hat p=\mathrm{i}\sqrt{m\hbar\omega/2}(\hat a^\dagger-\hat a)$ で同じ計算をする）。

(2) 相関の無い中心0の Gauss 関数は $W=\frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_p}\exp\bigl(-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}-\frac{p^2}{2\sigma_p^2}\bigr)$ で、(W3) からその周辺分布の分散は $\langle \hat x^2 \rangle$ と $\langle \hat p^2 \rangle$ に等しくなければならない。よって $\sigma_x^2=\langle \hat x^2 \rangle$、$\sigma_p^2=\langle \hat p^2 \rangle$ で、$\sigma_x\sigma_p=\frac\hbar2\coth\frac s2$ から前の係数は $\frac{1}{\pi\hbar}\tanh\frac s2$。指数は

$$\frac{x^2}{2\sigma_x^2}=\frac{m\omega x^2}{\hbar}\tanh\frac s2=\frac{2\tanh(s/2)}{\hbar\omega}\cdot\frac{m\omega^2x^2}{2},\qquad \frac{p^2}{2\sigma_p^2}=\frac{2\tanh(s/2)}{\hbar\omega}\cdot\frac{p^2}{2m}$$

で、足すと $\frac{2\tanh(s/2)}{\hbar\omega}H$。共通例題①の形に一致する。

(3) 最大値は原点の $\tanh(s/2)/(\pi\hbar)$ で、$\tanh(s/2)<1$ なので上限 $1/(\pi\hbar)$ より低い。上限に達するのは $s\to\infty$（$T\to0$）で、状態は純粋な基底状態 $| 0 \rangle$ になる。(5.1.6) で $| 0 \rangle$ は偶なので $W(0,0)=1/(\pi\hbar)$ と一致する。有限温度では奇の状態 $| 1 \rangle$, $| 3 \rangle$, … が混ざり、原点のパリティの期待値 $\sum_n(-1)^n\mathrm{e}^{-sn}(1-\mathrm{e}^{-s})=\tanh(s/2)$ が1より小さくなる。

(4) $U=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\frac s2$ で、$\coth y=1/y+y/3-\cdots$ に $y=s/2$ を入れると

$$U=\frac{\hbar\omega}{2}\Bigl(\frac2s+\frac s6\Bigr)+\mathcal{O}(s^3)= k_{\mathrm B} T\Bigl(1+\frac{s^2}{12}\Bigr)+\mathcal{O}(s^3).$$

一方 $\ln Z=-\ln s-s^2/24$ で $s=\beta\hbar\omega$ なので $U=-\partial_\beta\ln Z=1/\beta+\beta(\hbar\omega)^2/12= k_{\mathrm B} T(1+s^2/12)$ で、一致する。

(5) $\hbar\to0$ では $s\to0$ で $\tanh(s/2)\approx s/2=\beta\hbar\omega/2$。前の係数は $\beta\omega/(2\pi)$、指数は $-\beta H$ に近づき

$$W\to\frac{\beta\omega}{2\pi}\mathrm{e}^{-\beta H(x,p)}$$

となる。これは例題 5.1.1 (1) の古典の熱平衡分布 $\rho_{\mathrm{cl}}$ そのものである。