橋：同じ量をほかの構成で書く

量子力学の様々な構成方法　第5部 第1章 §5.1.6　★★★ $W$ の1次のモーメントは確率流、$Z$ は4つの構成で同じ $\hbar^2$ 補正を持つ。第5部の位置を地図の上で確かめる

この章の結果は、計画の同値性の地図で「密度行列 ↔ 位相空間」の橋の手前にある。橋そのもの（$W$ と $\hat\rho$ が互いに一意に決まること、$\operatorname{Tr}(\hat\rho\hat A)=\int W A_W$）は次の章で両向きに証明する。この節では、この章で出した量がほかの構成でどう書けるかを式で並べる。

期待値の書き方を並べる

位置だけ・運動量だけの関数については、周辺分布の性質 (W3) からすでに次の等式が成り立っている。

$$\operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho f(\hat x)\bigr)=\int f(x)\,W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p,\qquad \operatorname{Tr}\bigl(\hat\rho g(\hat p)\bigr)=\int g(p)\,W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p .\tag{5.1.15}$$

$x$ と $p$ が混ざる量で一番簡単なのは $p$ の1次のモーメントである。$\int p\,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}\mathrm{d} p=(\mathrm{i}\hbar/2)\partial_y\int\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} py/\hbar}\mathrm{d} p=(\mathrm{i}\hbar/2)\pi\hbar\,\delta'(y)$ を使って部分積分すると

$$\int p\,W(x,p)\,\mathrm{d} p=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\frac{\partial }{\partial y}\bigl[\psi(x+y)\psi^*(x-y)\bigr]_{y=0} =\hbar\operatorname{Im}\bigl(\psi^*\psi'\bigr)=m\,j(x)\tag{5.1.16}$$

となる。$j=(\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$ は基準の Schrödinger 方程式から出る確率流である。$W$ の各位置での運動量の平均は、確率流を密度で割った速度場 $j/\lvert \psi\rvert ^2$ に $m$ を掛けたものになっている。これは第7部の Madelung の流体（第7部第1章）の速度場 $v=\partial_xS/m$ そのものである（次の例題）。(5.1.16) にさらに $x$ を掛けて積分すると、$\int xp\,W\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p=\hbar\int x\operatorname{Im}(\psi^*\psi')\mathrm{d} x=\operatorname{Re}\langle \hat x\hat p \rangle =\tfrac12\langle \hat x\hat p+\hat p\hat x \rangle$で、例題 5.1.3 で見た対称化した積の期待値が一般に出る。並べると次のとおりである。

分配関数を4つの構成で並べる

5節の分配関数は、ほかの構成でも計算できる。並べると次のようになる。

$$\begin{align*}Z&=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H} &&\text{密度行列（第4部第4章）}\tag{5.1.17}\\&=\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-\beta H}\,w(x,p,\beta) &&\text{位相空間（この章 5節）}\tag{5.1.18}\\&=\oint\mathcal Dx\,\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}[x]/\hbar} &&\text{虚時間の経路積分（第3部第6章）}\tag{5.1.19}\\&\to\int\frac{\mathrm{d} x\,\mathrm{d} p}{2\pi\hbar}\,\mathrm{e}^{-\beta H} &&\text{古典（}{\hbar\to0}\text{、解析力学 第3部第3章）}\tag{5.1.20}\end{align*}$$

経路積分 (5.1.19) は周期 $\beta\hbar$ の閉じた経路の和である。経路を、その平均の位置 $\bar x$ と、まわりの揺らぎに分ける。揺らぎは $\hbar\beta/m$ 程度の分散を持つ Gauss 型で、$V$ を揺らぎについて2次まで展開して揺らぎで平均すると、R. P. Feynman が導いた「ぼかしたポテンシャル」

$$V_{\mathrm{eff}}(\bar x)=V(\bar x)+\frac{\hbar^2\beta}{24m}V''(\bar x)\tag{5.1.21}$$

を古典の $Z$ に入れたものが $\hbar^2$ の次数まで正しい $Z$ になる（揺らぎの平均 $\langle \delta x^2 \rangle =\hbar^2\beta/(12m)$ から $\tfrac12V''\langle \delta x^2 \rangle$ が出る。導出は第3部第6章で行う）。これを展開すると

$$Z\approx Z_{\mathrm{cl}}\Bigl(1-\beta\cdot\frac{\hbar^2\beta}{24m}\langle V'' \rangle _{\mathrm{cl}}\Bigr) =Z_{\mathrm{cl}}\Bigl(1-\frac{\hbar^2\beta^3}{24m}\langle V'^2 \rangle _{\mathrm{cl}}\Bigr)$$

で、2つ目の等号は部分積分 (5.1.13)。定理 5.1.6 と同じ補正が出る。位相空間では補正が被積分関数の因子 $w$ に、経路積分では補正がポテンシャルのぼかしに現れ、積分した結果は一致する。図 5.1.3 はこの関係をまとめたものである。

学部の統計力学の書き方との対応

学部の統計力学の授業では、古典の分配関数を $Z_{\mathrm{cl}}=\frac1h\int\mathrm{e}^{-\beta H}\mathrm{d} q\,\mathrm{d} p$ と書き、$1/h$ は「量子力学との整合のために入れる因子」として説明されることが多い。この章の言葉では、$1/h=1/(2\pi\hbar)$ は(5.1.9) で平面波の完全性 $\int\mathrm{d} p\,| p \rangle \langle p |=1$ を位置の積分と組み合わせたときに出る因子で、4節の「1区画の面積 $2\pi\hbar$」と同じものである。また、量子の調和振動子の比熱が低温で古典の値 $k_{\mathrm B}$ から下がることは、学部では固有値の和 $\sum_n\mathrm{e}^{-\beta E_n}$ から計算する。位相空間の構成では同じことが、$w$ の補正が $\beta\hbar\omega$ の大きい所で大きくなること（図 5.1.2）として見える。