この章のまとめ

(1) 1往復の時間は $2L/v$ なので $\omega=2\pi/(2L/v)=\pi v/L$。$\oint p\,\mathrm{d} x$ は行きと帰りで $mvL$ ずつで $2mvL$、したがって $J=mvL/\pi$。角変数 $\theta=\omega t$ を使うと、$0\le\theta\le\pi$ で $x=L\theta/\pi$、$\pi\le\theta\le2\pi$ で $x=L(2\pi-\theta)/\pi$ の三角波である。Fourier 係数は

$$X_\alpha=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha\theta}\mathrm{d}\theta =\frac{L}{\pi^2}\int_0^{\pi}\theta\cos(\alpha\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{L}{\pi^2}\cdot\frac{(-1)^\alpha-1}{\alpha^2}$$

（$\alpha\neq0$。2つの区間の寄与を $\theta\to2\pi-\theta$ でまとめた）で、$\alpha$ が奇数なら $-2L/(\pi^2\alpha^2)$、偶数なら0である。式 (2.1.17) に入れると、$\alpha=\pm1,\pm3,\dots$ で $\alpha^2\lvert X_\alpha\rvert ^2=\frac{4L^2}{\pi^4\alpha^2}$ なので

$$m\sum_\alpha\alpha^2\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2=2m\omega\frac{4L^2}{\pi^4}\sum_{\alpha\text{ 奇数}>0}\frac{1}{\alpha^2}=2m\omega\frac{4L^2}{\pi^4}\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac{m\omega L^2}{\pi^2}=\frac{mvL}{\pi}=J.$$

(2) $E=\frac12mv^2$ に $v=\pi J/(mL)$ を入れると $H(J)=\frac{\pi^2J^2}{2mL^2}$ で、$J=n\hbar$ なら $E_n$ と一致する（硬い壁では $J=n\hbar$ が厳密）。$\omega(J)=\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}=\frac{\pi^2J}{mL^2}$ なので $\alpha\omega(n\hbar)=\frac{\alpha\pi^2\hbar n}{mL^2}$。一方$\omega_{n,n-\alpha}=\frac{\pi^2\hbar}{2mL^2}\bigl(n^2-(n-\alpha)^2\bigr)=\frac{\pi^2\hbar}{2mL^2}(2n\alpha-\alpha^2)$。比は

$$\frac{\omega_{n,n-\alpha}}{\alpha\,\omega(n\hbar)}=1-\frac{\alpha}{2n}$$

で、水素（式 (2.1.6)）とは逆に1より小さい側から $n\to\infty$ で1に近づく。

(3) $x_{kn}=\frac2L\int_0^Lx\sin\frac{k\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\mathrm{d} x$。積を和に直して部分積分すると、$k\neq n$ で

$$x_{kn}=\begin{cases}-\dfrac{8Lkn}{\pi^2(k^2-n^2)^2}&(k+n\text{ が奇数})\\[1ex] 0&(k+n\text{ が偶数})\end{cases}$$

となる。$k=n-\alpha$ と置くと $k^2-n^2=-\alpha(2n-\alpha)$ なので

$$x_{n,n-\alpha}=-\frac{8Ln(n-\alpha)}{\pi^2\alpha^2(2n-\alpha)^2}\ \xrightarrow{\ n\to\infty\ }\ -\frac{8Ln^2}{\pi^2\alpha^2\cdot4n^2}=-\frac{2L}{\pi^2\alpha^2}$$

で、古典の $X_\alpha$ と一致する。遷移が0でないのは $\alpha=n-k$ が奇数のときで、古典の三角波が奇数次の高調波しか持たないことに対応する。

(4) $n=1$ の相手は $k$ が偶数の状態で、$(E_k-E_1)\lvert x_{k1}\rvert ^2=\frac{\pi^2\hbar^2(k^2-1)}{2mL^2}\cdot\frac{64L^2k^2}{\pi^4(k^2-1)^4}=\frac{32\hbar^2}{m\pi^2}\cdot\frac{k^2}{(k^2-1)^3}$。和は

$$\sum_k(E_k-E_1)\lvert x_{k1}\rvert ^2=\frac{32\hbar^2}{m\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{64}=\frac{\hbar^2}{2m}$$

で、$\hbar\omega_{k1}=E_k-E_1$ と合わせると総和則 $\sum_k\omega_{k1}\lvert x_{k1}\rvert ^2=\hbar/(2m)$ そのものである。振動子強度は$f_{k1}=\frac{64}{\pi^2}\frac{k^2}{(k^2-1)^3}$ で、$f_{21}=\frac{64}{\pi^2}\cdot\frac{4}{27}=0.96067$、続いて $f_{41}=0.03074$、$f_{61}=0.00544$。最初の遷移だけで和の96%を占める。

(5) $p_{k1}=\mathrm{i} m\omega_{k1}x_{k1}$ だから

$$\begin{aligned}\frac{(\mathbf p^2)_{11}}{2m}&=\frac{1}{2m}\sum_k\lvert p_{1k}\rvert ^2=\frac m2\sum_k\omega_{k1}^2\lvert x_{k1}\rvert ^2 =\frac m2\cdot\frac{\pi^4\hbar^2}{4m^2L^4}\cdot\frac{64L^2}{\pi^4}\sum_{k\text{ 偶数}}\frac{k^2(k^2-1)^2}{(k^2-1)^4}\\ &=\frac{8\hbar^2}{mL^2}\cdot\frac{\pi^2}{16}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}=E_1.\end{aligned}$$

箱の中では $V=0$ なので、エネルギーの表の対角要素は運動エネルギーだけで、遷移の振幅と振動数の表から $E_1$ が再現された。和の収束は $1/k^2$ の程度で、(4) の $1/k^4$ より遅い。運動量の表は高い準位への遷移の寄与を大きく受ける。