量子力学の様々な構成方法 第2部 第1章 §2.1.2 ★★★ 位置 x ( t ) x(t) x ( t )
1本の関数から、2つの添字を持つ表へ
古典の式 (2.1.1) では、位置 x ( t ) x(t) x ( t ) J J J X α ( J ) e i α ω ( J ) t X_\alpha(J)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega(J)t} X α ( J ) e i α ω ( J ) t α \alpha α α ω ( J ) ↔ ω n , n − α \alpha\omega(J)\leftrightarrow\omega_{n,n-\alpha} α ω ( J ) ↔ ω n , n − α X α ( J ) ↔ x n , n − α X_\alpha(J)\leftrightarrow x_{n,n-\alpha} X α ( J ) ↔ x n , n − α
定義 2.1.1（遷移の表）
状態の番号 n , m = 0 , 1 , 2 , … n,m=0,1,2,\dots n , m = 0 , 1 , 2 , … x n m x_{nm} x nm
x n m ( t ) = x n m e i ω n m t (2.1.8) x_{nm}(t)=x_{nm}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}\tag{2.1.8} x nm ( t ) = x nm e i ω nm t ( 2.1.8 )
の全体を、位置の遷移の表 と呼び、太字の立体 x ( t ) \mathbf x(t) x ( t ) p ( t ) \mathbf p(t) p ( t )
古典の量 x ( t ) x(t) x ( t ) X − α = X α ∗ X_{-\alpha}=X_\alpha^* X − α = X α ∗ − α -\alpha − α m → n m\to n m → n ω m n = − ω n m \omega_{mn}=-\omega_{nm} ω mn = − ω nm
x m n = x n m ∗ (2.1.9) x_{mn}=x_{nm}^*\tag{2.1.9} x mn = x nm ∗ ( 2.1.9 )
になる。表を行列とみなすと、これはエルミート行列であることにほかならない。
時間微分は要素ごとにとる。d d t x n m ( t ) = i ω n m x n m ( t ) \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x_{nm}(t)=\mathrm{i}\omega_{nm}x_{nm}(t) d t d x nm ( t ) = i ω nm x nm ( t ) d d t X α e i α ω t = i α ω X α e i α ω t \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}X_\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega t}=\mathrm{i}\alpha\omega X_\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\omega t} d t d X α e i α ω t = i α ω X α e i α ω t p = m x ˙ \mathbf p=m\dot{\mathbf x} p = m x ˙
p n m = i m ω n m x n m (2.1.10) p_{nm}=\mathrm{i} m\,\omega_{nm}\,x_{nm}\tag{2.1.10} p nm = i m ω nm x nm ( 2.1.10 )
になる。
積の規則は Ritz の結合則から決まる
運動方程式にはポテンシャル V ( x ) V(x) V ( x ) x 2 x^2 x 2 p 2 p^2 p 2 γ \gamma γ
x ( t ) y ( t ) = ∑ γ ( ∑ α + β = γ X α Y β ) e i γ ω t . (2.1.11) x(t)y(t)=\sum_\gamma\Bigl(\sum_{\alpha+\beta=\gamma}X_\alpha Y_\beta\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma\omega t}.\tag{2.1.11} x ( t ) y ( t ) = γ ∑ ( α + β = γ ∑ X α Y β ) e i γ ω t . ( 2.1.11 )
右辺の各項の振動数は α ω + β ω = γ ω \alpha\omega+\beta\omega=\gamma\omega α ω + β ω = γ ω γ \gamma γ
量子の側では、積 x y \mathbf x\mathbf y xy ( n , m ) (n,m) ( n , m ) ω n m \omega_{nm} ω nm x n k ( t ) y k ′ m ( t ) x_{nk}(t)y_{k'm}(t) x nk ( t ) y k ′ m ( t ) ω n k + ω k ′ m \omega_{nk}+\omega_{k'm} ω nk + ω k ′ m ω n m \omega_{nm} ω nm (2.1.4) が保証するのは k ′ = k k'=k k ′ = k n n n k k k m m m
( x y ) n m ( t ) = ∑ k x n k ( t ) y k m ( t ) = ( ∑ k x n k y k m ) e i ω n m t . (2.1.12) (\mathbf x\mathbf y)_{nm}(t)=\sum_k x_{nk}(t)\,y_{km}(t)=\Bigl(\sum_k x_{nk}y_{km}\Bigr)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t}.\tag{2.1.12} ( xy ) nm ( t ) = k ∑ x nk ( t ) y k m ( t ) = ( k ∑ x nk y k m ) e i ω nm t . ( 2.1.12 )
古典の畳み込み (2.1.11) で α = n − k \alpha=n-k α = n − k β = k − m \beta=k-m β = k − m α + β = n − m = γ \alpha+\beta=n-m=\gamma α + β = n − m = γ (2.1.12) はその量子版になっている。M. Born は、この規則が数学者の知っていた行列の積そのものであることに気づき、P. Jordan とともに理論を行列で書き直した1 1 M. Born and P. Jordan (1925), Z. Phys. 34 , 858–888.
行列力学の出発点の要請（前半）
(M1) 物理量は遷移の表 x ( t ) \mathbf x(t) x ( t ) x n m e i ω n m t x_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t} x nm e i ω nm t ω n m \omega_{nm} ω nm x n m x_{nm} x nm (2.1.12) で定める。時間微分は要素ごとに i ω n m \mathrm{i}\omega_{nm} i ω nm
積の規則から、時間微分の Leibniz 則がそのまま成り立つ。実際、d d t ( x y ) n m = i ω n m ( x y ) n m = ∑ k i ( ω n k + ω k m ) x n k y k m = ( x ˙ y + x y ˙ ) n m \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\mathbf x\mathbf y)_{nm}=\mathrm{i}\omega_{nm}(\mathbf x\mathbf y)_{nm}=\sum_k\mathrm{i}(\omega_{nk}+\omega_{km})x_{nk}y_{km}=(\dot{\mathbf x}\mathbf y+\mathbf x\dot{\mathbf y})_{nm} d t d ( xy ) nm = i ω nm ( xy ) nm = ∑ k i ( ω nk + ω k m ) x nk y k m = ( x ˙ y + x y ˙ ) nm
積の順序
古典の積 (2.1.11) は x x x y y y (2.1.12) は一般に対称でない。( x y ) n m = ∑ k x n k y k m (\mathbf x\mathbf y)_{nm}=\sum_kx_{nk}y_{km} ( xy ) nm = ∑ k x nk y k m ( y x ) n m = ∑ k y n k x k m (\mathbf y\mathbf x)_{nm}=\sum_ky_{nk}x_{km} ( yx ) nm = ∑ k y nk x k m 2.1.4 節で、量子化条件そのものが x p − p x \mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x xp − px x p xp x p x p \mathbf x\mathbf p xp p x \mathbf p\mathbf x px 第2部第2章 で正準量子化の「順序の曖昧さ」として扱う。
例題 2.1.2 隣どうしだけをつなぐ表の2乗 ★★
オリジナル 位置の表の要素が、番号が1だけ違う状態の間でしか0でないとする。a n ≔ x n , n − 1 a_n\coloneqq x_{n,n-1} a n : = x n , n − 1 n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 x n − 1 , n = a n ∗ x_{n-1,n}=a_n^* x n − 1 , n = a n ∗ a 0 = 0 a_0=0 a 0 = 0
(1) x 2 \mathbf x^2 x 2 (2) 古典の x ( t ) = X 1 e i ω t + X 1 ∗ e − i ω t x(t)=X_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+X_1^*\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} x ( t ) = X 1 e i ω t + X 1 ∗ e − i ω t (3) ( x 2 ) n n (\mathbf x^2)_{nn} ( x 2 ) nn
解答 (1) ( x 2 ) n m = ∑ k x n k x k m (\mathbf x^2)_{nm}=\sum_kx_{nk}x_{km} ( x 2 ) nm = ∑ k x nk x k m k = n ± 1 k=n\pm1 k = n ± 1 x k m ≠ 0 x_{km}\neq0 x k m = 0 m = k ± 1 m=k\pm1 m = k ± 1 m = n m=n m = n m = n ± 2 m=n\pm2 m = n ± 2
( x 2 ) n n = x n , n − 1 x n − 1 , n + x n , n + 1 x n + 1 , n = ∣ a n ∣ 2 + ∣ a n + 1 ∣ 2 , (\mathbf x^2)_{nn}=x_{n,n-1}x_{n-1,n}+x_{n,n+1}x_{n+1,n}=\lvert a_n\rvert ^2+\lvert a_{n+1}\rvert ^2, ( x 2 ) nn = x n , n − 1 x n − 1 , n + x n , n + 1 x n + 1 , n = ∣ a n ∣ 2 + ∣ a n + 1 ∣ 2 ,
( x 2 ) n , n − 2 = x n , n − 1 x n − 1 , n − 2 = a n a n − 1 , ( x 2 ) n − 2 , n = a n − 1 ∗ a n ∗ . (\mathbf x^2)_{n,n-2}=x_{n,n-1}x_{n-1,n-2}=a_na_{n-1},\qquad (\mathbf x^2)_{n-2,n}=a_{n-1}^*a_n^*. ( x 2 ) n , n − 2 = x n , n − 1 x n − 1 , n − 2 = a n a n − 1 , ( x 2 ) n − 2 , n = a n − 1 ∗ a n ∗ .
(2) x 2 = X 1 2 e 2 i ω t + 2 ∣ X 1 ∣ 2 + X 1 ∗ 2 e − 2 i ω t x^2=X_1^2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\omega t}+2\lvert X_1\rvert ^2+X_1^{*2}\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}\omega t} x 2 = X 1 2 e 2 i ω t + 2 ∣ X 1 ∣ 2 + X 1 ∗ 2 e − 2 i ω t γ = 0 \gamma=0 γ = 0 2 ∣ X 1 ∣ 2 2\lvert X_1\rvert ^2 2 ∣ X 1 ∣ 2 γ = ± 2 \gamma=\pm2 γ = ± 2 X 1 2 X_1^2 X 1 2 X 1 ∗ 2 X_1^{*2} X 1 ∗ 2 γ = 0 \gamma=0 γ = 0 ( x 2 ) n n (\mathbf x^2)_{nn} ( x 2 ) nn γ = 2 \gamma=2 γ = 2 ( x 2 ) n , n − 2 (\mathbf x^2)_{n,n-2} ( x 2 ) n , n − 2 2 ∣ X 1 ∣ 2 2\lvert X_1\rvert ^2 2 ∣ X 1 ∣ 2 ∣ X 1 ∣ 2 \lvert X_1\rvert ^2 ∣ X 1 ∣ 2 n n n n n n a n a_n a n n n n 2 ∣ a n ∣ 2 2\lvert a_n\rvert ^2 2 ∣ a n ∣ 2
(3) 対角要素は ω n n = 0 \omega_{nn}=0 ω nn = 0 γ = 0 \gamma=0 γ = 0 2 ∣ X 1 ∣ 2 2\lvert X_1\rvert ^2 2 ∣ X 1 ∣ 2 x 2 x^2 x 2 ( x 2 ) n n (\mathbf x^2)_{nn} ( x 2 ) nn
1 M. Born and P. Jordan (1925), Z. Phys. 34 , 858–888.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
