量子化条件：作用の条件から交換関係へ

量子力学の様々な構成方法　第2部 第1章 §2.1.4　★★★ Bohr–Sommerfeld の条件を $J$ で微分し、微分を準位の差に読み替えると振動子強度の総和則になる。その対角要素と、運動方程式から出る非対角要素0を合わせると $\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x=\mathrm{i}\hbar$ になる

古い量子化条件を Fourier 係数で書く

ここまでの要請 (M1)(M2) と運動方程式だけでは、$x_{nm}$ と $\omega_{nm}$ はまだ決まらない。古典の運動方程式は $J$ の連続な族の解を持つので、その中から量子の状態を選ぶ条件が要る。古い量子論ではこれを Bohr–Sommerfeld の条件 $J=n\hbar$ で与えた（転回点の位相を入れると $(n+\frac12)\hbar$ になる。解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第1部第14章）。しかしこの条件は軌道の積分 $\oint p\,\mathrm{d} x$ で書かれているので、軌道を捨てた理論ではそのまま使えない。Heisenberg はこれを Fourier 係数で書き直した。$\mathrm{d} x=\dot x\,\mathrm{d} t$ と $p=m\dot x$ から、1周期 $T=2\pi/\omega$ について

$$\oint p\,\mathrm{d} x=\int_0^Tm\dot x^2\,\mathrm{d} t =m\sum_{\alpha,\beta}(\mathrm{i}\alpha\omega X_\alpha)(\mathrm{i}\beta\omega X_\beta)\int_0^T\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\beta)\omega t}\mathrm{d} t =mT\sum_\alpha\alpha^2\omega^2\lvert X_\alpha\rvert ^2$$

となる。積分は $\beta=-\alpha$ の項だけで $T$ になり、$X_{-\alpha}=X_\alpha^*$ を使った。$2\pi$ で割ると

$$J=m\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}\alpha^2\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2.\tag{2.1.17}$$

条件 $J=n\hbar$ と $J=(n+\frac12)\hbar$ は定数の分だけ違い、どちらが正しいかは古い量子論の中では決まらない。Heisenberg は定数を消すために、式 (2.1.17) を $J$ で微分した。$\frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} J}=1$ だから

$$1=m\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}\alpha\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} J}\bigl(\alpha\,\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2\bigr) =2m\sum_{\alpha=1}^{\infty}\alpha\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} J}\bigl(\alpha\,\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2\bigr)\tag{2.1.18}$$

を得る。$\alpha$ と $-\alpha$ の項は等しいので、正の $\alpha$ だけの和の2倍にまとめた。

微分を準位の差に読み替える

式 (2.1.5) では、エネルギーの微分 $\alpha\hbar\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} J}$ を準位の差 $E_n-E_{n-\alpha}$ に読み替えると Bohr の振動数が出た。Heisenberg は同じ読み替えを、$J$ の関数すべてに当てはめた。$\alpha$ 番目の高調波に付いた量 $G_\alpha(J)$ が、遷移 $n\to n-\alpha$ に付いた量 $G(n,n-\alpha)$ に対応するとき、

$$\alpha\hbar\frac{\mathrm{d} G_\alpha}{\mathrm{d} J}\ \longleftrightarrow\ G(n+\alpha,n)-G(n,n-\alpha)\tag{2.1.19}$$

と置く。右辺は「状態 $n$ の上へ $\alpha$ 離れた遷移」と「下へ $\alpha$ 離れた遷移」の差で、$J=n\hbar$ の前後で幅 $\alpha\hbar$ の差の商をとることに当たる。式 (2.1.18) の $G_\alpha=\alpha\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2$ は、前節の対応で $G(n,n-\alpha)=\omega_{n,n-\alpha}\lvert x_{n,n-\alpha}\rvert ^2$ になる。読み替えると

$$\hbar=2m\sum_{\alpha=1}^\infty\Bigl(\omega_{n+\alpha,n}\lvert x_{n+\alpha,n}\rvert ^2-\omega_{n,n-\alpha}\lvert x_{n,n-\alpha}\rvert ^2\Bigr).$$

第1項で $k=n+\alpha$、第2項で $k=n-\alpha$ と置き、$\omega_{kn}=-\omega_{nk}$ を使うと、2つの項は1つの和にまとまる。

$$\sum_k\omega_{kn}\lvert x_{kn}\rvert ^2=\frac{\hbar}{2m}\qquad\text{すなわち}\qquad \sum_k f_{kn}=1,\quad f_{kn}\coloneqq\frac{2m\,\omega_{kn}\lvert x_{kn}\rvert ^2}{\hbar}.\tag{2.1.20}$$

これが Heisenberg の量子化条件で、Heisenberg 自身が注意したように、同じ年に W. Kuhn と W. Thomas が分散の理論から導いた振動子強度の総和則（Thomas–Reiche–Kuhn の総和則）と一致する¹1W. Kuhn (1925), Z. Phys. 33, 408–412；W. Thomas (1925), Naturwissenschaften 13, 627；F. Reiche and W. Thomas (1925), Z. Phys. 34, 510–525.下の脚注へ閉じる。$f_{kn}$ は遷移 $n\to k$ の振動子強度で、$k$ が $n$ より上の準位なら正、下なら負である。条件は軌道を一切含まず、観測にかかる $\omega_{kn}$ と $x_{kn}$ だけで書けている。$J$ の定数が微分で消えたので、$J=n\hbar$ と $(n+\frac12)\hbar$ のどちらを選んでも式 (2.1.20) は同じになる。

Born と Jordan の形：$\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x=\mathrm{i}\hbar$

式 (2.1.20) を運動量の表 (2.1.10) で書き直す。積の規則から

$$(\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x)_{nn}=\sum_k\bigl(x_{nk}p_{kn}-p_{nk}x_{kn}\bigr) =\sum_k\bigl(x_{nk}\,\mathrm{i} m\omega_{kn}x_{kn}-\mathrm{i} m\omega_{nk}x_{nk}\,x_{kn}\bigr) =2\mathrm{i} m\sum_k\omega_{kn}\lvert x_{kn}\rvert ^2$$

となる。最後の等号で $\omega_{nk}=-\omega_{kn}$ と $x_{nk}x_{kn}=\lvert x_{kn}\rvert ^2$（式 (2.1.9)）を使った。総和則 (2.1.20) を入れると

$$(\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x)_{nn}=\mathrm{i}\hbar\qquad(\text{すべての }n)\tag{2.1.21}$$

である。非対角要素については、運動方程式から次のことが言える。

証明

$\mathbf D=\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x$ と置く。Leibniz 則と式 (2.1.13) から

$$\dot{\mathbf D}=\dot{\mathbf x}\mathbf p+\mathbf x\dot{\mathbf p}-\dot{\mathbf p}\mathbf x-\mathbf p\dot{\mathbf x} =\frac{\mathbf p^2}{m}-\mathbf xV'(\mathbf x)+V'(\mathbf x)\mathbf x-\frac{\mathbf p^2}{m}=0.$$

$\mathbf x$ と $V'(\mathbf x)$ が可換であることを使った。一方 $\mathbf D$ も遷移の表なので $\dot D_{nm}=\mathrm{i}\omega_{nm}D_{nm}$ である。縮退がなければ $n\neq m$ で $\omega_{nm}\neq0$ だから $D_{nm}=0$。対角要素は式 (2.1.21) で $\mathrm{i}\hbar$ である。

Born と Jordan はこれを「強めた量子条件」と呼び、$pq-qp=\frac{h}{2\pi\mathrm{i}}\mathbf 1$ の形で書いた（符号を入れ替えると式 (2.1.22) と同じ）。Bohr–Sommerfeld の条件は、こうして軌道を含まない交換関係に置き換わった。

数値例：4次の項を足した振動子

総和則 (2.1.20) は調和振動子に限らない。$\hbar=m=\omega=1$ の単位で $H=\frac12p^2+\frac12x^2+x^4$ を、調和振動子の固有状態80個を基底にした行列で対角化した。最低のエネルギーは $E_0=0.80377$、$E_1=2.73789$ である。基底状態からの振動子強度 $f_{k0}$ は、$x$ が奇関数なので $k$ が奇数のときだけ0でなく、

$$f_{10}=0.99276,\qquad f_{30}=0.00722,\qquad f_{50}=0.000024$$

で、和は $k=5$ までで $0.999999$ に達する。$n=0,1,2,3$ のどの状態についても $\sum_k(E_k-E_n)\lvert x_{kn}\rvert ^2=0.5000000000$（10桁）が得られた。さらに $p_{nm}=\mathrm{i}\omega_{nm}x_{nm}$ で運動量の表を作り、$\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x$ を計算すると、左上の $6\times6$ のブロックで$\mathrm{i}\,\mathbf 1$ と $10^{-8}$ 以内で一致し、非対角要素も0になる。行列を有限で打ち切ったことによる誤差は、ブロックの端（番号の大きい状態）に集まる。

1　W. Kuhn (1925), Z. Phys. 33, 408–412；W. Thomas (1925), Naturwissenschaften 13, 627；F. Reiche and W. Thomas (1925), Z. Phys. 34, 510–525.