量子力学の様々な構成方法 第2部 第1章 §2.1.6 ★★★ 遷移の表は基準の言葉では Heisenberg 描像の行列要素 ⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩ \langle n | \hat x_{\mathrm H}(t) | m \rangle ⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩
同値性の地図のどこにいるか
この章で作った遷移の表は、第1部第1章の同値性の地図（第1部第1章 ）の「行列力学 ◀── 状態ベクトル（基準）」の橋の、行列力学の側の端にある。この橋の両向きの証明（行列力学の表から状態ベクトルを作り直すこと、表示が本質的に1つであること）は第2部第6章 の受け持ちで、ここでは対応を式で並べる。基準の言葉では、ハミルトニアンの固有状態 ∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ \hat H| n \rangle =E_n| n \rangle H ^ ∣ n ⟩ = E n ∣ n ⟩ x ^ H ( t ) = e i H ^ t / ℏ x ^ e − i H ^ t / ℏ \hat x_{\mathrm H}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat x\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} x ^ H ( t ) = e i H ^ t /ℏ x ^ e − i H ^ t /ℏ
表 2.1.1 遷移の表と基準の言葉の対応。左の列は Heisenberg と Born–Jordan が1925年に置いた形、右の列は第1部第2章の公理から出る形。 この章（遷移の表） 基準（状態ベクトルと演算子） x n m ( t ) = x n m e i ω n m t x_{nm}(t)=x_{nm}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{nm}t} x nm ( t ) = x nm e i ω nm t ⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ ∣ m ⟩ e i ( E n − E m ) t / ℏ \langle n | \hat x_{\mathrm H}(t) | m \rangle =\langle n | \hat x | m \rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i}(E_n-E_m)t/\hbar} ⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩ = ⟨ n ∣ x ^ ∣ m ⟩ e i ( E n − E m ) t /ℏ Ritz の結合則 ω n k + ω k m = ω n m \omega_{nk}+\omega_{km}=\omega_{nm} ω nk + ω k m = ω nm 固有値の差 ( E n − E k ) + ( E k − E m ) = E n − E m (E_n-E_k)+(E_k-E_m)=E_n-E_m ( E n − E k ) + ( E k − E m ) = E n − E m 積の規則 ∑ k x n k y k m \sum_kx_{nk}y_{km} ∑ k x nk y k m 完全系 ∑ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ = 1 ^ \sum_k| k \rangle \langle k |=\hat 1 ∑ k ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ = 1 ^ エルミート x m n = x n m ∗ x_{mn}=x_{nm}^* x mn = x nm ∗ エルミート演算子 x ^ † = x ^ \hat x^\dagger=\hat x x ^ † = x ^ x ˙ = ( x H − H x ) / ( i ℏ ) \dot{\mathbf x}=(\mathbf x\mathbf H-\mathbf H\mathbf x)/(\mathrm{i}\hbar) x ˙ = ( xH − Hx ) / ( i ℏ ) Heisenberg 方程式 d x ^ H d t = [ x ^ H , H ^ ] / ( i ℏ ) \frac{\mathrm{d} \hat x_{\mathrm H}}{\mathrm{d} t}=\left[\hat x_{\mathrm H},\,\hat H\right]/(\mathrm{i}\hbar) d t d x ^ H = [ x ^ H , H ^ ] / ( i ℏ ) ( F ˙ ) n n = 0 (\dot{\mathbf F})_{nn}=0 ( F ˙ ) nn = 0 固有状態での期待値は時間によらない 総和則 ∑ k ω k n ∣ x k n ∣ 2 = ℏ / ( 2 m ) \sum_k\omega_{kn}\lvert x_{kn}\rvert ^2=\hbar/(2m) ∑ k ω k n ∣ x k n ∣ 2 = ℏ/ ( 2 m ) ⟨ n ∣ [ x ^ , [ H ^ , x ^ ] ] ∣ n ⟩ = ℏ 2 / m \langle n | \left[\hat x,\,\left[\hat H,\,\hat x\right]\right] | n \rangle =\hbar^2/m ⟨ n ∣ [ x ^ , [ H ^ , x ^ ] ] ∣ n ⟩ = ℏ 2 / m x p − p x = i ℏ 1 \mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x=\mathrm{i}\hbar\mathbf 1 xp − px = i ℏ 1 正準交換関係 [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ
基準から遷移の表へ
右の列から左の列へは、行列要素を計算するだけで移ることができる。行列要素の時間依存は⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩ = ⟨ n ∣ e i H ^ t / ℏ x ^ e − i H ^ t / ℏ ∣ m ⟩ = e i E n t / ℏ ⟨ n ∣ x ^ ∣ m ⟩ e − i E m t / ℏ \langle n | \hat x_{\mathrm H}(t) | m \rangle =\langle n | \mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}\hat x\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar} | m \rangle =\mathrm{e}^{\mathrm{i} E_nt/\hbar}\langle n | \hat x | m \rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_mt/\hbar} ⟨ n ∣ x ^ H ( t ) ∣ m ⟩ = ⟨ n ∣ e i H ^ t /ℏ x ^ e − i H ^ t /ℏ ∣ m ⟩ = e i E n t /ℏ ⟨ n ∣ x ^ ∣ m ⟩ e − i E m t /ℏ (2.1.8) と同じ形になる。積の規則は完全系の挿入⟨ n ∣ x ^ y ^ ∣ m ⟩ = ∑ k ⟨ n ∣ x ^ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ y ^ ∣ m ⟩ \langle n | \hat x\hat y | m \rangle =\sum_k\langle n | \hat x | k \rangle \langle k | \hat y | m \rangle ⟨ n ∣ x ^ y ^ ∣ m ⟩ = ∑ k ⟨ n ∣ x ^ ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ y ^ ∣ m ⟩
総和則は、二重交換子の期待値として出る。H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ ) \hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x) H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ ) [ H ^ , x ^ ] = 1 2 m [ p ^ 2 , x ^ ] = − i ℏ m p ^ \left[\hat H,\,\hat x\right]=\frac{1}{2m}\left[\hat p^2,\,\hat x\right]=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{m}\hat p [ H ^ , x ^ ] = 2 m 1 [ p ^ 2 , x ^ ] = − m i ℏ p ^
[ x ^ , [ H ^ , x ^ ] ] = − i ℏ m [ x ^ , p ^ ] = ℏ 2 m (2.1.27) \left[\hat x,\,\left[\hat H,\,\hat x\right]\right]=-\frac{\mathrm{i}\hbar}{m}\left[\hat x,\,\hat p\right]=\frac{\hbar^2}{m}\tag{2.1.27} [ x ^ , [ H ^ , x ^ ] ] = − m i ℏ [ x ^ , p ^ ] = m ℏ 2 ( 2.1.27 )
である。左辺の対角要素を固有状態の完全系で展開すると
⟨ n ∣ x ^ H ^ x ^ − x ^ x ^ H ^ − H ^ x ^ x ^ + x ^ H ^ x ^ ∣ n ⟩ = ∑ k ( 2 E k − 2 E n ) ∣ x k n ∣ 2 \langle n | \hat x\hat H\hat x-\hat x\hat x\hat H-\hat H\hat x\hat x+\hat x\hat H\hat x | n \rangle
=\sum_k\bigl(2E_k-2E_n\bigr)\lvert x_{kn}\rvert ^2 ⟨ n ∣ x ^ H ^ x ^ − x ^ x ^ H ^ − H ^ x ^ x ^ + x ^ H ^ x ^ ∣ n ⟩ = k ∑ ( 2 E k − 2 E n ) ∣ x k n ∣ 2
で、ℏ ω k n = E k − E n \hbar\omega_{kn}=E_k-E_n ℏ ω k n = E k − E n (2.1.20) になる。基準の側では、総和則は交換関係から出る帰結で、Heisenberg が古い量子化条件から読み替えで得た式と同じものである。
逆向き、すなわち要請 (M1)(M2) と運動方程式と交換関係を満たす表から、ヒルベルト空間と状態ベクトルを作り直すことは、表を列ベクトルに作用する行列とみなせばよい。その表示が（有限自由度では）本質的に1つしかないことは Stone–von Neumann の定理の内容で、第2部第6章 で扱う。歴史の上では、E. Schrödinger が1926年に、波動力学の固有関数から行列力学の表が計算できることを示した（第1部第4章 ）。
古典の括弧との関係
Heisenberg の条件 (2.1.18) は、古典の Poisson 括弧で書くと見通しがよくなる。作用角変数では { x , p } = ∂ x ∂ θ ∂ p ∂ J − ∂ x ∂ J ∂ p ∂ θ \{x,p\}=\frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial p}{\partial J}-\frac{\partial x}{\partial J}\frac{\partial p}{\partial \theta} { x , p } = ∂ θ ∂ x ∂ J ∂ p − ∂ J ∂ x ∂ θ ∂ p x = ∑ α X α ( J ) e i α θ x=\sum_\alpha X_\alpha(J)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\theta} x = ∑ α X α ( J ) e i α θ p = m ω ∂ x ∂ θ p=m\omega\frac{\partial x}{\partial \theta} p = mω ∂ θ ∂ x θ \theta θ
{ x , p } ‾ = m ∑ α α d d J ( α ω ∣ X α ∣ 2 ) (2.1.28) \overline{\{x,p\}}=m\sum_\alpha\alpha\,\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} J}\bigl(\alpha\,\omega\lvert X_\alpha\rvert ^2\bigr)\tag{2.1.28} { x , p } = m α ∑ α d J d ( α ω ∣ X α ∣ 2 ) ( 2.1.28 )
となる。古典では { x , p } = 1 \{x,p\}=1 { x , p } = 1 (2.1.18) は「{ x , p } = 1 \{x,p\}=1 { x , p } = 1 (2.1.19) を通すと、この式の量子版が ( x p − p x ) n n / ( i ℏ ) = 1 (\mathbf x\mathbf p-\mathbf p\mathbf x)_{nn}/(\mathrm{i}\hbar)=1 ( xp − px ) nn / ( i ℏ ) = 1 i ℏ \mathrm{i}\hbar i ℏ { f , g } → [ f ^ , g ^ ] / ( i ℏ ) \{f,g\}\to\left[\hat f,\,\hat g\right]/(\mathrm{i}\hbar) { f , g } → [ f ^ , g ^ ] / ( i ℏ ) 1 1 P. A. M. Dirac (1925), Proc. R. Soc. Lond. A 109 , 642–653.第2部第2章 で、解析力学の側からの導出は解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第1章 にある。
授業で習う形との対応
学部の量子力学や光学の授業では、総和則 (2.1.20) は「振動子強度の和は1」（f f f x x x f k n = 2 m ω k n ∣ ⟨ k ∣ x ^ ∣ n ⟩ ∣ 2 / ℏ f_{kn}=2m\omega_{kn}\lvert \langle k | \hat x | n \rangle \rvert ^2/\hbar f k n = 2 m ω k n ∣⟨ k ∣ x ^ ∣ n ⟩ ∣ 2 /ℏ Z Z Z Z Z Z 光学と量子エレクトロニクス 第12章 、光と物質の相互作用の中での位置づけは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第12章 にある。授業では総和則を交換関係の帰結として示すが、歴史の順番は逆で、総和則のほうが量子化条件として先に置かれた。
例題 2.1.6 運動量の総和則 ★★
オリジナル H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ ) \hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x) H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + V ( x ^ )
(1) [ p ^ , [ H ^ , p ^ ] ] = ℏ 2 V ′ ′ ( x ^ ) \left[\hat p,\,\left[\hat H,\,\hat p\right]\right]=\hbar^2V''(\hat x) [ p ^ , [ H ^ , p ^ ] ] = ℏ 2 V ′′ ( x ^ ) (2) (1) から、運動量の行列要素についての総和則 ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 = ℏ 2 2 ( V ′ ′ ( x ) ) n n \sum_k(E_k-E_n)\lvert p_{kn}\rvert ^2=\frac{\hbar^2}{2}\bigl(V''(\mathbf x)\bigr)_{nn} ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 = 2 ℏ 2 ( V ′′ ( x ) ) nn (3) 調和振動子の表で (2) の両辺を計算し、一致を確かめよ。
解答 (1) [ H ^ , p ^ ] = [ V ( x ^ ) , p ^ ] = i ℏ V ′ ( x ^ ) \left[\hat H,\,\hat p\right]=\left[V(\hat x),\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar V'(\hat x) [ H ^ , p ^ ] = [ V ( x ^ ) , p ^ ] = i ℏ V ′ ( x ^ ) [ V , − i ℏ ∂ x ] ψ = i ℏ V ′ ψ \left[V,\,-\mathrm{i}\hbar\partial_x\right]\psi=\mathrm{i}\hbar V'\psi [ V , − i ℏ ∂ x ] ψ = i ℏ V ′ ψ [ p ^ , i ℏ V ′ ( x ^ ) ] = i ℏ ⋅ ( − i ℏ V ′ ′ ( x ^ ) ) = ℏ 2 V ′ ′ ( x ^ ) \left[\hat p,\,\mathrm{i}\hbar V'(\hat x)\right]=\mathrm{i}\hbar\cdot(-\mathrm{i}\hbar V''(\hat x))=\hbar^2V''(\hat x) [ p ^ , i ℏ V ′ ( x ^ ) ] = i ℏ ⋅ ( − i ℏ V ′′ ( x ^ )) = ℏ 2 V ′′ ( x ^ )
(2) 式 (2.1.27) の下の計算と同じく、⟨ n ∣ [ p ^ , [ H ^ , p ^ ] ] ∣ n ⟩ = 2 ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 \langle n | \left[\hat p,\,\left[\hat H,\,\hat p\right]\right] | n \rangle =2\sum_k(E_k-E_n)\lvert p_{kn}\rvert ^2 ⟨ n ∣ [ p ^ , [ H ^ , p ^ ] ] ∣ n ⟩ = 2 ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 = ℏ 2 2 ( V ′ ′ ) n n \sum_k(E_k-E_n)\lvert p_{kn}\rvert ^2=\frac{\hbar^2}{2}(V'')_{nn} ∑ k ( E k − E n ) ∣ p k n ∣ 2 = 2 ℏ 2 ( V ′′ ) nn
(3) 相手は k = n ± 1 k=n\pm1 k = n ± 1 ∣ p n ± 1 , n ∣ 2 = m 2 ω 2 ∣ x n ± 1 , n ∣ 2 \lvert p_{n\pm1,n}\rvert ^2=m^2\omega^2\lvert x_{n\pm1,n}\rvert ^2 ∣ p n ± 1 , n ∣ 2 = m 2 ω 2 ∣ x n ± 1 , n ∣ 2 ℏ ω ( m 2 ω 2 ( n + 1 ) ℏ 2 m ω − m 2 ω 2 n ℏ 2 m ω ) = ℏ 2 m ω 2 2 \hbar\omega\bigl(m^2\omega^2\frac{(n+1)\hbar}{2m\omega}-m^2\omega^2\frac{n\hbar}{2m\omega}\bigr)=\frac{\hbar^2m\omega^2}{2} ℏ ω ( m 2 ω 2 2 mω ( n + 1 ) ℏ − m 2 ω 2 2 mω n ℏ ) = 2 ℏ 2 m ω 2 V ′ ′ = m ω 2 V''=m\omega^2 V ′′ = m ω 2 ℏ 2 m ω 2 2 \frac{\hbar^2m\omega^2}{2} 2 ℏ 2 m ω 2 V V V V ′ ′ V'' V ′′
1 P. A. M. Dirac (1925), Proc. R. Soc. Lond. A 109 , 642–653.
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
