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この章のまとめ

2026年10月17日8分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第4章 代数だけでスペクトルを出す：調和振動子・角運動量・水素

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第2部 第4章 §2.4.6　★★★ 梯子と正値性の2つで、調和振動子・角運動量・2準位系・水素のスペクトルを出した。総合問題で3次元等方振動子の準位と角運動量を通す

この章では、交換関係が与える梯子（補題 2.4.1）と、ノルムが負にならないこと（命題 2.4.2）の2つだけでスペクトルを出した。調和振動子では [a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 から En=ℏω(n+12)E_n=\hbar\omega(n+\frac12)・行列要素・既約性による縮退のなさが出て、共通例題①の ZZ と ⟨n⟩\langle n \rangle まで等比級数で済んだ（2.4.2 節）。第1章の Heisenberg の解き方とは、総和則と交換関係、選択則と梯子、x0,−1=0x_{0,-1}=0 と a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 がそれぞれ対応する。

角運動量では、梯子が上下両側で止まるので表現は有限次元になり、j(j+1)ℏ2j(j+1)\hbar^2・m=−j,…,jm=-j,\dots,j・2j∈Z2j\in\mathbb{Z} が出た。スピン12\frac12の Pauli 行列はこの代数のいちばん小さい表現である（2.4.3 節）。共通例題②の2準位系の準位はスピン12\frac12の表現として出て、その間隔が第3章の Rabi 振動の角振動数 Ω′\Omega' である。同じ代数をスピン jj に持ち上げると Majorana の公式 P=Pe2jP=P_e^{2j} になった（2.4.3 節）。

水素では、Pauli の Lenz ベクトルが角運動量の代数を2つに増やし、−ER/n2-E_{\mathrm R}/n^2 と n2n^2 重の縮退を交換関係だけで出した。動径方程式の因数分解が2つ目の道を与える。代数が閉じない x^4\hat x^4 の系では、梯子の行列要素を使った打ち切りの対角化に頼る（2.4.4 節）。橋の節では、代数の表現が位置表示と両向きに同じものであること、Bargmann 表示が幾何学的量子化の正則偏極に当たることを示し、共通例題①の出し方を全部の部で並べた（2.4.5 節）。次の章（第2部第5章）では、この章の調和振動子の代数を LC 回路と Josephson 接合に当てる。

総合問題　3次元等方振動子：準位・縮退・角運動量・熱平衡 ★★★

オリジナル質量 mm、角振動数 ω\omega の3次元等方振動子 H^=p^2/(2m)+mω2r^2/2\hat H=\hat{\bm{p}}^2/(2m)+m\omega^2\hat{\bm{r}}^2/2 を考える。各方向の生成消滅演算子を a^x,a^y,a^z\hat a_x,\hat a_y,\hat a_z とする（[a^i, a^k†]=δik\left[\hat a_i,\,\hat a_k^\dagger\right]=\delta_{ik}、ほかの交換子は 00）。

  1. (1) H^=ℏω(N^+32)\hat H=\hbar\omega(\hat N+\frac32)、N^=∑ia^i†a^i\hat N=\sum_i\hat a_i^\dagger\hat a_i を示し、EN=ℏω(N+32)E_N=\hbar\omega(N+\frac32) の縮退度が (N+1)(N+2)/2(N+1)(N+2)/2 であることを示せ。（使う道具：2.4.2 節の定理）
  2. (2) L^z=x^p^y−y^p^x=iℏ(a^xa^y†−a^x†a^y)\hat L_z=\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x=\mathrm{i}\hbar(\hat a_x\hat a_y^\dagger-\hat a_x^\dagger\hat a_y) を示し、a^±=(a^x∓ia^y)/2\hat a_\pm=(\hat a_x\mp\mathrm{i}\hat a_y)/\sqrt2 と置くと L^z=ℏ(a^+†a^+−a^−†a^−)\hat L_z=\hbar(\hat a_+^\dagger\hat a_+-\hat a_-^\dagger\hat a_-) になることを示せ。[L^z, H^]=0\left[\hat L_z,\,\hat H\right]=0 も確かめよ。（使う道具：2.4.2 節・第2部第3章の保存量）
  3. (3) N=2N=2 の6状態を (n+,n−,nz)(n_+,n_-,n_z) で数え、L^z\hat L_z の固有値の分布から、この準位に現れる ll を決めよ。一般の NN では l=N,N−2,…l=N,N-2,\dots となることを、mlm_l ごとの状態の数から説明せよ。（使う道具：2.4.3 節の定理）
  4. (4) 温度 TT の分配関数 Z3Z_3 と平均エネルギー ⟨H^⟩\langle \hat H \rangle を求め、ℏω=kBT\hbar\omega= k_{\mathrm B} T のときの ⟨N^⟩\langle \hat N \rangle を数で求めよ。（使う道具：2.4.2 節の熱平衡・第2部第1章の共通例題①）
  5. (5) N=2N=2 の準位と水素の n=3n=3 の準位を、縮退度と現れる ll で比べよ。どちらも「偶然の縮退」の理由は角運動量より大きい代数にあるが、その代数の違いを a^i†a^k\hat a_i^\dagger\hat a_k と L^,K^\hat{\bm{L}},\hat{\bm{K}} の数で述べよ。（使う道具：2.4.4 節）
解答

(1) 各方向で (2.4.4) が成り立つので、和をとれば H^=ℏω(N^+32)\hat H=\hbar\omega(\hat N+\frac32)。3つの N^i=a^i†a^i\hat N_i=\hat a_i^\dagger\hat a_i は互いに交換し、それぞれ固有値 ni=0,1,…n_i=0,1,\dots を持つ（定理 2.4.3）。nx+ny+nz=Nn_x+n_y+n_z=N を満たす非負の整数の組の数は、NN 個の玉を2本の仕切りで3つに分ける数え方で (N+22)=(N+1)(N+2)/2\binom{N+2}{2}=(N+1)(N+2)/2。

(2) x^=ℏ/2mω(a^x+a^x†)\hat x=\sqrt{\hbar/2m\omega}(\hat a_x+\hat a_x^\dagger)、p^y=imℏω/2(a^y†−a^y)\hat p_y=\mathrm{i}\sqrt{m\hbar\omega/2}(\hat a_y^\dagger-\hat a_y) などを入れると

x^p^y−y^p^x=iℏ2[(a^x+a^x†)(a^y†−a^y)−(a^y+a^y†)(a^x†−a^x)]=iℏ(a^xa^y†−a^x†a^y)\hat x\hat p_y-\hat y\hat p_x=\frac{\mathrm{i}\hbar}{2}\bigl[(\hat a_x+\hat a_x^\dagger)(\hat a_y^\dagger-\hat a_y)-(\hat a_y+\hat a_y^\dagger)(\hat a_x^\dagger-\hat a_x)\bigr]=\mathrm{i}\hbar(\hat a_x\hat a_y^\dagger-\hat a_x^\dagger\hat a_y)

（a^xa^y\hat a_x\hat a_y と a^x†a^y†\hat a_x^\dagger\hat a_y^\dagger の項は打ち消し、違う方向どうしは交換する）。a^+†a^+−a^−†a^−=12[(a^x†+ia^y†)(a^x−ia^y)−(a^x†−ia^y†)(a^x+ia^y)]=i(a^y†a^x−a^x†a^y)\hat a_+^\dagger\hat a_+-\hat a_-^\dagger\hat a_-=\frac12\bigl[(\hat a_x^\dagger+\mathrm{i}\hat a_y^\dagger)(\hat a_x-\mathrm{i}\hat a_y)-(\hat a_x^\dagger-\mathrm{i}\hat a_y^\dagger)(\hat a_x+\mathrm{i}\hat a_y)\bigr]=\mathrm{i}(\hat a_y^\dagger\hat a_x-\hat a_x^\dagger\hat a_y)で、a^y†a^x=a^xa^y†\hat a_y^\dagger\hat a_x=\hat a_x\hat a_y^\dagger だから L^z\hat L_z と一致する。a^±\hat a_\pm も [a^±, a^±†]=1\left[\hat a_\pm,\,\hat a_\pm^\dagger\right]=1 を満たし、N^=N^++N^−+N^z\hat N=\hat N_++\hat N_-+\hat N_z なので、L^z=ℏ(N^+−N^−)\hat L_z=\hbar(\hat N_+-\hat N_-) は H^\hat H と交換する。

(3) N=2N=2 の (n+,n−,nz)(n_+,n_-,n_z) は (2,0,0)(2,0,0), (0,2,0)(0,2,0), (1,1,0)(1,1,0), (1,0,1)(1,0,1), (0,1,1)(0,1,1), (0,0,2)(0,0,2) で、ml=n+−n−m_l=n_+-n_- は 2,−2,0,1,−1,02,-2,0,1,-1,0。ml=0m_l=0 が2つ、±1\pm1, ±2\pm2 が1つずつなので、定理 2.4.4 により l=2l=2（5状態）と l=0l=0（1状態）。一般の NN で ml=n+−n−m_l=n_+-n_- を固定すると、n++n−=N−nzn_++n_-=N-n_z は ∣ml∣\lvert m_l\rvert と偶奇が同じで ∣ml∣\lvert m_l\rvert 以上 NN 以下の値をとるので、状態の数は ⌊(N−∣ml∣)/2⌋+1\lfloor(N-\lvert m_l\rvert )/2\rfloor+1。この数が ∣ml∣\lvert m_l\rvert を2増やすごとに1減るので、l=N,N−2,…l=N,N-2,\dots（11 または 00 まで）が1つずつ現れる。和は ∑(2l+1)=(N+1)(N+2)/2\sum(2l+1)=(N+1)(N+2)/2 で (1) と合う。

(4) 3方向は独立なので Z3=Z3=(2sinh⁡(βℏω/2))−3Z_3=Z^3=\bigl(2\sinh(\beta\hbar\omega/2)\bigr)^{-3}、⟨H^⟩=−∂βln⁡Z3=32ℏωcoth⁡(βℏω/2)\langle \hat H \rangle =-\partial_\beta\ln Z_3=\frac32\hbar\omega\coth(\beta\hbar\omega/2)。⟨N^⟩=3/(eβℏω−1)\langle \hat N \rangle =3/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1) で、βℏω=1\beta\hbar\omega=1 なら 3/(e−1)=1.7463/(\mathrm{e}-1)=1.746。

(5) 等方振動子 N=2N=2 は縮退度6・l=2,0l=2,0、水素 n=3n=3 は縮退度9・l=2,1,0l=2,1,0。振動子では ll が1つおきに、水素では全部の ll が現れる。振動子の準位の中では9つの演算子 a^i†a^k\hat a_i^\dagger\hat a_k が H^\hat H と交換し（そのうち N^\hat N を除く8つが L^\hat L の3成分を含む代数を作る）、準位はその代数の表現になる。水素では L^\hat{\bm{L}} と K^\hat{\bm{K}} の6つで、4次元の回転と同じ代数である。どちらも角運動量の3つより大きい代数があるので、違う ll が同じエネルギーに集まる。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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