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橋：代数と表示・ほかの構成

2026年10月17日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部 第4章 代数だけでスペクトルを出す：調和振動子・角運動量・水素
目次
  1. 代数から位置表示へ、位置表示から代数へ
  2. Bargmann 表示：幾何学的量子化への入口
  3. 共通例題①をほかの部の言葉で
  4. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

量子力学の様々な構成方法　第2部 第4章 §2.4.5　★★★ 抽象的な代数の表現と、位置表示・Bargmann 表示・第二量子化・経路積分・密度行列・幾何学的量子化を式で結ぶ。位置表示との橋は両向きを示す

この章の結果は、計画の同値性の地図（第1部第1章）では「行列力学 → 第二量子化（aa, a†a^\dagger の起源）」の橋の出発点と、「行列力学の一意性（Stone–von Neumann）」の橋の手前に当たる。表示の選び方（第1部第3章）の言葉では、この章は表示を選ばずに解き、表示は後から選ぶ。

代数から位置表示へ、位置表示から代数へ

代数 → 位置表示。 位置表示では x^=x\hat x=x、p^=−iℏ d/dx\hat p=-\mathrm{i}\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d} x で、ξ=xmω/ℏ\xi=x\sqrt{m\omega/\hbar} と置くと a^=12(ξ+d/dξ)\hat a=\frac{1}{\sqrt2}(\xi+\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi) である。定理 2.4.3 の a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 は1階の微分方程式 (ξ+d/dξ)ψ0=0(\xi+\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi)\psi_0=0 になり、解は ψ0∝e−ξ2/2\psi_0\propto\mathrm{e}^{-\xi^2/2} のただ1つ。∣n⟩=(a^†)n∣0⟩/n!| n \rangle =(\hat a^\dagger)^n| 0 \rangle /\sqrt{n!} は

ψn(x)=12nn!(mωπℏ)1/4Hn(ξ) e−ξ2/2,(ξ−ddξ)ne−ξ2/2=Hn(ξ)e−ξ2/2(2.4.27)\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}\Bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/4}H_n(\xi)\,\mathrm{e}^{-\xi^2/2},\qquad \Bigl(\xi-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\Bigr)^n\mathrm{e}^{-\xi^2/2}=H_n(\xi)\mathrm{e}^{-\xi^2/2}\tag{2.4.27}

になる（HnH_n は Hermite 多項式）。2つ目の式が、上りの演算子 a^†=12(ξ−d/dξ)\hat a^\dagger=\frac{1}{\sqrt2}(\xi-\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi) を当てるたびに Hermite 多項式の次数が1上がることを表している。

位置表示 → 代数。 逆に、位置表示の Schrödinger 方程式 (−ℏ22md2dx2+12mω2x2)ψ=Eψ\bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}+\frac12m\omega^2x^2\bigr)\psi=E\psi から出発すると、微分演算子として ℏω2(ξ−ddξ)(ξ+ddξ)=ℏω2(ξ2−d2dξ2−1)\frac{\hbar\omega}{2}\bigl(\xi-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\bigr)\bigl(\xi+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\bigr)=\frac{\hbar\omega}{2}\bigl(\xi^2-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}-1\bigr) なので、左辺の演算子はℏω(a^†a^+12)\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\frac12) に因数分解され、[a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 は [d/dξ, ξ]=1\left[\mathrm{d}/\mathrm{d}\xi,\,\xi\right]=1 から出る。微分方程式の解の全体 L2(R)L^2(\mathbb{R}) は [a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 の既約な表現で、定理 2.4.3 (iii) により代数の側の表現と同じものになる。2つの向きを合わせると、「代数で解いた答え」と「微分方程式で解いた答え」は同じ表現の中の同じベクトルである。一意性が一般にどこまで成り立つか（Weyl 形式での Stone–von Neumann の定理）は第2部第6章で証明する。

Bargmann 表示：幾何学的量子化への入口

同じ代数のもう1つの表示は、複素変数 zz の正則関数の空間で a^†=z\hat a^\dagger=z、a^=d/dz\hat a=\mathrm{d}/\mathrm{d} z とするものである（Bargmann–Fock 表示）。[d/dz, z]=1\left[\mathrm{d}/\mathrm{d} z,\,z\right]=1 は積の微分の規則から直ちに出て、a^∣0⟩=0\hat a| 0 \rangle =0 は df0/dz=0\mathrm{d} f_0/\mathrm{d} z=0、つまり f0=1f_0=1。∣n⟩| n \rangle は zn/n!z^n/\sqrt{n!} で、内積は次の例題で確かめる重み e−∣z∣2\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2} の積分で入る。この表示は相空間の複素座標 z∝mωx−ipz\propto m\omega x-\mathrm{i} p の上の関数で状態を表すもので、幾何学的量子化では「正則偏極」と呼ばれる選び方に当たる（第10部第4章）。そこでは、零点エネルギー 12ℏω\frac12\hbar\omega が幾何学の補正（半形式）なしには出てこないことを見る（第10部第5章）。この章の代数では、零点は x^2\hat x^2, p^2\hat p^2 を a^†a^\hat a^\dagger\hat a に並べ替えたときの 12[a^, a^†]\frac12\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right] から出た。2つの説明は同じ 12\frac12 を、順序の問題と幾何の補正という別の言葉で読んでいる。

例題 2.4.7　Bargmann 表示の内積 ★★

オリジナル正則関数 ff, gg の内積を ⟨f, g⟩=∫Cf(z)‾ g(z) e−∣z∣2d2zπ\langle f,\,g\rangle =\int_{\mathbb{C}}\overline{f(z)}\,g(z)\,\mathrm{e}^{-\lvert z\rvert ^2}\frac{\mathrm{d}^2z}{\pi}（d2z=d(Re⁡z) d(Im⁡z)\mathrm{d}^2z=\mathrm{d}(\operatorname{Re} z)\,\mathrm{d}(\operatorname{Im} z)）と定める。

  1. (1) ⟨zn, zk⟩=n! δnk\langle z^n,\,z^k\rangle =n!\,\delta_{nk} を示せ。
  2. (2) この内積で zz と d/dz\mathrm{d}/\mathrm{d} z が互いにエルミート共役であること、すなわち ⟨f, zg⟩=⟨df/dz, g⟩\langle f,\,zg\rangle =\langle \mathrm{d} f/\mathrm{d} z,\,g\rangle を f=znf=z^n, g=zkg=z^k で確かめよ。
解答

(1) 極座標 z=ρ eiθz=\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} で zn‾zk=ρn+kei(k−n)θ\overline{z^n}z^k=\rho^{n+k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k-n)\theta}。θ\theta の積分は n≠kn\neq k で 00、n=kn=k で 2π2\pi。残りは 2ππ∫0∞ρ2ne−ρ2ρ dρ=∫0∞sne−sds=n!\frac{2\pi}{\pi}\int_0^\infty\rho^{2n}\mathrm{e}^{-\rho^2}\rho\,\mathrm{d}\rho=\int_0^\infty s^n\mathrm{e}^{-s}\mathrm{d} s=n!（s=ρ2s=\rho^2）。よって zn/n!z^n/\sqrt{n!} は正規直交である。

(2) ⟨zn, zk+1⟩=n! δn,k+1\langle z^n,\,z^{k+1}\rangle =n!\,\delta_{n,k+1}、⟨nzn−1, zk⟩=n (n−1)! δn−1,k=n! δn,k+1\langle nz^{n-1},\,z^k\rangle =n\,(n-1)!\,\delta_{n-1,k}=n!\,\delta_{n,k+1} で等しい。したがって a^†=z\hat a^\dagger=z と a^=d/dz\hat a=\mathrm{d}/\mathrm{d} z は互いの共役で、a^(zn/n!)=n zn−1/(n−1)!\hat a(z^n/\sqrt{n!})=\sqrt n\,z^{n-1}/\sqrt{(n-1)!} は (2.4.5) と一致する。

共通例題①をほかの部の言葉で

この章で出した共通例題①の答えが、ほかの部でどの式から出てくるかを並べる。どの行も、[a^, a^†]=1\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 の表現の中の同じ量を別の道具で計算している。

表 2.4.2　共通例題①（調和振動子）の答えを出す道具の対応。
構成共通例題①の出し方この章の式との対応
行列力学（この章）H^=ℏω(a^†a^+12)\hat H=\hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a+\frac12)、正値性EnE_n (2.4.6)、ZZ (2.4.8)
経路積分Mehler 核のトレース Z=∫K(x,−iβℏ;x,0) dxZ=\int K(x,-\mathrm{i}\beta\hbar;x,0)\,\mathrm{d} x（第3部第3章・第3部第6章）同じ 1/(2sinh⁡(βℏω/2))1/(2\sinh(\beta\hbar\omega/2))
密度行列ρ^=e−βH^/Z\hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z を基底 ∣n⟩| n \rangle で対角に書く（第4部第4章）⟨N^⟩\langle \hat N \rangle (2.4.9)
位相空間Wn∝(−1)nLn(4H/ℏω)e−2H/ℏωW_n\propto(-1)^nL_n(4H/\hbar\omega)\mathrm{e}^{-2H/\hbar\omega}（第5部第5章）∣n⟩| n \rangle (2.4.5) の Wigner 変換
第二量子化場の1つのモード、a^\hat a は量子を1個消す（第6部第1章）同じ代数を各モードに
代数的量子論CCR 代数の表現、熱平衡は KMS 状態（第8部）定理 2.4.3 (iii) の既約性
幾何学的量子化正則偏極＋半形式補正（第10部第5章）Bargmann 表示と零点の 12\frac12

角運動量の側の橋は、スピン12\frac12の表現 (2.4.13) が第4部の Bloch ベクトル ρ^=(1+r⋅σ)/2\hat\rho=(1+\bm{r}\cdot\bm{\sigma})/2 の出発点になり（第4部第5章）、Majorana の公式の証明に使ったスピン12\frac12の積がスピンのコヒーレント状態の経路積分（第3部）と、球面の量子化の整数条件 2j∈Z2j\in\mathbb{Z}（第10部第5章）へつながる。定理 2.4.4 の 2j∈Z2j\in\mathbb{Z} は代数の正値性から、第10部の 2j∈Z2j\in\mathbb{Z} は線束の整数条件から出るので、同じ条件の2つの理由になる。

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連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下 智貴
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