角運動量：交換関係だけで 2j+1 が決まる

量子力学の様々な構成方法　第2部 第4章 §2.4.3　★★★ $[\hat J_x,\hat J_y]=\mathrm{i}\hbar\hat J_z$ と正値性から、$j(j+1)\hbar^2$・$m=-j,\dots,j$・半整数を出す。スピンは微分演算子でなくこの代数の表現として入り、2準位系の準位もその1つである

交換関係と梯子

3つのエルミートな演算子 $\hat J_x,\hat J_y,\hat J_z$ が

$$\left[\hat J_x,\,\hat J_y\right]=\mathrm{i}\hbar\hat J_z,\qquad \left[\hat J_y,\,\hat J_z\right]=\mathrm{i}\hbar\hat J_x,\qquad \left[\hat J_z,\,\hat J_x\right]=\mathrm{i}\hbar\hat J_y\tag{2.4.10}$$

を満たすとする。軌道角運動量 $\hat{\bm{L}}=\hat{\bm{r}}\times\hat{\bm{p}}$ は正準交換関係からこれを満たし（第2部第2章の例題）、古典の $\{L_x,L_y\}=L_z$ を写したものになっている。行列力学では、(2.4.10) だけを要請し、それを満たす演算子を「角運動量」と呼ぶ。こうすると、位置と運動量で書けないスピンも同じ枠に入る。

$\hat J^2=\hat J_x^2+\hat J_y^2+\hat J_z^2$ は3成分すべてと交換する（たとえば $\left[\hat J_z,\,\hat J_x^2\right]=\mathrm{i}\hbar(\hat J_x\hat J_y+\hat J_y\hat J_x)$ と $\left[\hat J_z,\,\hat J_y^2\right]=-\mathrm{i}\hbar(\hat J_x\hat J_y+\hat J_y\hat J_x)$ が打ち消す）。そこで $\hat J^2$ と $\hat J_z$ の同時固有ベクトル $| \lambda,\mu \rangle$（$\hat J^2| \lambda,\mu \rangle =\lambda\hbar^2| \lambda,\mu \rangle$、$\hat J_z| \lambda,\mu \rangle =\mu\hbar| \lambda,\mu \rangle$）をとる。$\hat J_\pm=\hat J_x\pm\mathrm{i}\hat J_y$ と置くと

$$\left[\hat J_z,\,\hat J_\pm\right]=\pm\hbar\hat J_\pm,\qquad \left[\hat J_+,\,\hat J_-\right]=2\hbar\hat J_z,\qquad \hat J_\mp\hat J_\pm=\hat J^2-\hat J_z^2\mp\hbar\hat J_z\tag{2.4.11}$$

である。最初の式は梯子の補題の形で、$\hat J_\pm$ は $\mu$ を $\pm1$ ずらし、$\hat J^2$ と交換するので $\lambda$ を変えない。3つ目の式は $\hat J_\mp\hat J_\pm=\hat J_x^2+\hat J_y^2\pm\mathrm{i}\left[\hat J_x,\,\hat J_y\right]$ から出る。

スペクトルを決める

証明

(2.4.11) の3つ目の式と正値性から

$$\lVert \hat J_\pm| \lambda,\mu \rangle \rVert ^2=\langle \lambda,\mu | \hat J_\mp\hat J_\pm | \lambda,\mu \rangle =\hbar^2\bigl(\lambda-\mu(\mu\pm1)\bigr)\ge0$$

（$\hat J_\pm^\dagger=\hat J_\mp$ を使った）。$\mu$ を上げ続けると $\mu(\mu+1)$ がいくらでも大きくなるので、上りの梯子は止まらなければならない。止まる所の $\mu=j$ では $\hat J_+| \lambda,j \rangle =0$ で、ノルムの式から $\lambda=j(j+1)$。同じく下りの梯子が止まる $\mu=j'$ では $\lambda=j'(j'-1)$。2式から $(j+j')(j-j'+1)=0$ で、$j'\le j$ なので $j'=-j$。下端 $-j$ から上端 $j$ へ1ずつ上がって届くので、$2j$ は非負の整数である。係数 (2.4.12) はノルムの式の平方根で、位相を正の実数に選んだものである。既約なら $| j,j \rangle$ から $\hat J_-$ で作った $2j+1$ 個が全体を張るので、各 $m$ に1つずつである（$| j,j \rangle$ が2つあれば調和振動子の定理 2.4.3 (iii) と同じ議論で既約性に反する）。

調和振動子と違い、角運動量の梯子は上にも下にも止まる。正値性の不等式 $\lambda\ge\mu(\mu\pm1)$ が両側から $\mu$ を押さえるためで、そのため表現は有限次元になる。第2部第3章の例題で、2次元等方振動子のエネルギー $\hbar\omega(N+1)$ の準位の中に角運動量の代数が現れ、その次元 $N+1$ が $2j+1$（$j=N/2$）であることを予告した。定理 2.4.4 がその答えである。

スピンは代数の表現として入る

$j=\frac12$ の表現は2次元で、$| \frac12,\frac12 \rangle =(1,0)^{\mathsf T}$、$| \frac12,-\frac12 \rangle =(0,1)^{\mathsf T}$ と並べると、(2.4.12) から$\hat J_+=\hbar\sigma_+$、$\hat J_-=\hbar\sigma_-$、$\hat J_z=\frac\hbar2\sigma_z$ で、

$$\hat{\bm{J}}=\frac\hbar2\bm{\sigma}\tag{2.4.13}$$

を得る。Pauli 行列は「交換関係 (2.4.10) のいちばん小さい自明でない表現」として、代数から決まる。軌道角運動量 $\hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\,\partial_\varphi$ では、方位角を $2\pi$ 回したとき波動関数が元に戻ることから $m$ が整数に限られ、$j$ は整数だけが現れる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第5章）。半整数の表現は、波動関数の1価性という制約を持たない行列力学の側から自然に出てくる。第2部第2章で「スピンを角運動量の交換関係の表現として扱う」と書いたのは、この意味である。スピンを球面という相空間の量子化として出し直すのは第10部（第10部第5章）である。

2準位系の準位と、同じ代数でのスピン j

共通例題②のハミルトニアン

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x=-\Omega'\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{J}},\qquad \hat{\bm{J}}=\frac\hbar2\bm{\sigma},\quad \Omega'=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2},\quad \bm{n}=\frac{(\Omega,0,\Delta)}{\Omega'}\tag{2.4.14}$$

（回転座標で回転波近似をした形。導出は光学と量子エレクトロニクス 第18章）は、スピン$\frac12$の表現の中の「向き $\bm{n}$ の軸のまわりの角運動量」である。$\bm{n}\cdot\hat{\bm{J}}$ は回転で $\hat J_z$ に移るので、定理 2.4.4 により固有値は $\pm\hbar/2$、準位は $\mp\hbar\Omega'/2$ で間隔は $\hbar\Omega'$ である。行列で確かめるなら、Pauli 行列の反交換関係 $\{\sigma_i,\sigma_k\}_{+}=2\delta_{ik}$ から $(\bm{n}\cdot\bm{\sigma})^2=\lvert \bm{n}\rvert ^2=1$ で、固有値 $\pm1$ がすぐ出る。この準位の間隔を $\hbar$ で割ったものが Rabi 振動

$$P_e(t)=\Bigl(\frac{\Omega}{\Omega'}\Bigr)^2\sin^2\frac{\Omega't}{2}\tag{2.4.15}$$

の角振動数 $\Omega'$ である（$| e \rangle$ は $\sigma_z=+1$、$| g \rangle$ は $\sigma_z=-1$）。(2.4.15) の時間発展は第2部第3章で Pauli 行列の Heisenberg 方程式（歳差）から出したので、ここでは結果を引用する。この節で付け加えるのは、準位の側を表現論で出したことと、次に示すように同じ代数を使えば答えがほかの $j$ へそのまま持ち上がることである。

スピン $j$ の粒子を同じ場の中に置き、

$$\hat H_j=-\Omega'\,\bm{n}\cdot\hat{\bm{J}}\qquad(\hat{\bm{J}}\text{ はスピン } j\text{ の表現})\tag{2.4.16}$$

とする。$\bm{n}\cdot\hat{\bm{J}}$ の固有値は $m\hbar$（$m=-j,\dots,j$）なので、準位は $E_m=-\hbar\Omega'm$ の等間隔な $2j+1$ 本である。

証明

スピン$\frac12$を $2j$ 個並べ、各々の Pauli 行列を $\bm{\sigma}^{(k)}$ として $\hat{\bm{J}}=\frac\hbar2\sum_{k=1}^{2j}\bm{\sigma}^{(k)}$ と置く。これは (2.4.10) を満たし（違う $k$ どうしは交換する）、入れ替えについて対称な状態の部分空間を保つ。その部分空間で $| e\cdots e \rangle$ は $\hat J_z=j\hbar$ の最大で $\hat J_+| e\cdots e \rangle =0$ を満たすので、$\hat J_-$ を当てて作る $2j+1$ 個の状態がスピン $j$ の表現になる（対称な部分空間の次元も $2j+1$ なので、これで全部である）。$| j,j \rangle =| e\cdots e \rangle$、$| j,-j \rangle =| g\cdots g \rangle$ である。$\hat H_j=-\frac{\hbar\Omega'}{2}\sum_k\bm{n}\cdot\bm{\sigma}^{(k)}$ の各項は互いに交換するので、時間発展はスピン$\frac12$の $\hat U(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat Ht/\hbar}$（$\hat H$ は (2.4.14)）の積 $\hat U_j(t)=\hat U(t)^{\otimes2j}$ に分かれ、$\langle e\cdots e | \hat U_j | g\cdots g \rangle =\langle e | \hat U | g \rangle ^{2j}$。絶対値の2乗をとれば (2.4.17) を得る。