量子力学の様々な構成方法 第2部 第4章 §2.4.2 ★★★ 共通例題①を生成消滅演算子の代数だけで解く。スペクトル・行列要素・熱平衡の Z Z Z ⟨ n ⟩ \langle n \rangle ⟨ n ⟩
ハミルトニアンを因数分解する
調和振動子 H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + m ω 2 x ^ 2 / 2 \hat H=\hat p^2/(2m)+m\omega^2\hat x^2/2 H ^ = p ^ 2 / ( 2 m ) + m ω 2 x ^ 2 /2
a ^ = m ω x ^ + i p ^ 2 m ℏ ω , a ^ † = m ω x ^ − i p ^ 2 m ℏ ω (2.4.3) \hat a=\frac{m\omega\hat x+\mathrm{i}\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega}},\qquad
\hat a^\dagger=\frac{m\omega\hat x-\mathrm{i}\hat p}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\tag{2.4.3} a ^ = 2 m ℏ ω mω x ^ + i p ^ , a ^ † = 2 m ℏ ω mω x ^ − i p ^ ( 2.4.3 )
と置く。[ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ
[ a ^ , a ^ † ] = 1 2 m ℏ ω ( − i m ω [ x ^ , p ^ ] + i m ω [ p ^ , x ^ ] ) = 2 m ω ℏ 2 m ℏ ω = 1 \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=\frac{1}{2m\hbar\omega}\bigl(-\mathrm{i} m\omega\left[\hat x,\,\hat p\right]+\mathrm{i} m\omega\left[\hat p,\,\hat x\right]\bigr)=\frac{2m\omega\hbar}{2m\hbar\omega}=1 [ a ^ , a ^ † ] = 2 m ℏ ω 1 ( − i mω [ x ^ , p ^ ] + i mω [ p ^ , x ^ ] ) = 2 m ℏ ω 2 mω ℏ = 1
である。積を展開すると a ^ † a ^ = 1 2 m ℏ ω ( m 2 ω 2 x ^ 2 + p ^ 2 + i m ω [ x ^ , p ^ ] ) = H ^ ℏ ω − 1 2 \hat a^\dagger\hat a=\frac{1}{2m\hbar\omega}\bigl(m^2\omega^2\hat x^2+\hat p^2+\mathrm{i} m\omega\left[\hat x,\,\hat p\right]\bigr)=\frac{\hat H}{\hbar\omega}-\frac12 a ^ † a ^ = 2 m ℏ ω 1 ( m 2 ω 2 x ^ 2 + p ^ 2 + i mω [ x ^ , p ^ ] ) = ℏ ω H ^ − 2 1
H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) , [ a ^ , a ^ † ] = 1 (2.4.4) \hat H=\hbar\omega\Bigl(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\Bigr),\qquad \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1\tag{2.4.4} H ^ = ℏ ω ( a ^ † a ^ + 2 1 ) , [ a ^ , a ^ † ] = 1 ( 2.4.4 )
を得る。命題 2.4.2 の形 H ^ = B ^ † B ^ + c \hat H=\hat B^\dagger\hat B+c H ^ = B ^ † B ^ + c B ^ = ℏ ω a ^ \hat B=\sqrt{\hbar\omega}\,\hat a B ^ = ℏ ω a ^ c = ℏ ω / 2 c=\hbar\omega/2 c = ℏ ω /2 N ^ = a ^ † a ^ \hat N=\hat a^\dagger\hat a N ^ = a ^ † a ^ [ N ^ , a ^ ] = a ^ † [ a ^ , a ^ ] + [ a ^ † , a ^ ] a ^ = − a ^ \left[\hat N,\,\hat a\right]=\hat a^\dagger\left[\hat a,\,\hat a\right]+\left[\hat a^\dagger,\,\hat a\right]\hat a=-\hat a [ N ^ , a ^ ] = a ^ † [ a ^ , a ^ ] + [ a ^ † , a ^ ] a ^ = − a ^ [ N ^ , a ^ † ] = a ^ † \left[\hat N,\,\hat a^\dagger\right]=\hat a^\dagger [ N ^ , a ^ † ] = a ^ † a ^ \hat a a ^ ϵ = 1 \epsilon=1 ϵ = 1 ℏ ω \hbar\omega ℏ ω a ^ \hat a a ^ ( m ω x + i p ) / 2 m ω (m\omega x+\mathrm{i} p)/\sqrt{2m\omega} ( mω x + i p ) / 2 mω ℏ \sqrt\hbar ℏ 解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第4章 にある。
スペクトルを決める
定理 2.4.3（[ a ^ , a ^ † ] = 1 [\hat a,\hat a^\dagger]=1 [ a ^ , a ^ † ] = 1
ヒルベルト空間の上で [ a ^ , a ^ † ] = 1 \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 [ a ^ , a ^ † ] = 1 N ^ = a ^ † a ^ \hat N=\hat a^\dagger\hat a N ^ = a ^ † a ^
(i) N ^ \hat N N ^ n = 0 , 1 , 2 , … n=0,1,2,\dots n = 0 , 1 , 2 , … n n n (ii) a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \hat a| 0 \rangle =0 a ^ ∣0 ⟩ = 0 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n ∣ 0 ⟩ / n ! | n \rangle =(\hat a^\dagger)^n| 0 \rangle /\sqrt{n!} ∣ n ⟩ = ( a ^ † ) n ∣0 ⟩ / n !
a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ , a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ (2.4.5) \hat a| n \rangle =\sqrt n\,| n-1 \rangle ,\qquad \hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}\,| n+1 \rangle\tag{2.4.5} a ^ ∣ n ⟩ = n ∣ n − 1 ⟩ , a ^ † ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ ( 2.4.5 )
が成り立つ。3. (iii) 表現が既約（a ^ \hat a a ^ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † { 0 } \{0\} { 0 } a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \hat a| 0 \rangle =0 a ^ ∣0 ⟩ = 0 { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩}
したがって調和振動子のエネルギーは
E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) , n = 0 , 1 , 2 , … (2.4.6) E_n=\hbar\omega\Bigl(n+\frac12\Bigr),\qquad n=0,1,2,\dots\tag{2.4.6} E n = ℏ ω ( n + 2 1 ) , n = 0 , 1 , 2 , … ( 2.4.6 )
で、既約な表現ではどの準位も縮退しない。
証明 (i) 規格化した固有ベクトル ∣ ν ⟩ | \nu \rangle ∣ ν ⟩ N ^ ∣ ν ⟩ = ν ∣ ν ⟩ \hat N| \nu \rangle =\nu| \nu \rangle N ^ ∣ ν ⟩ = ν ∣ ν ⟩ ν = ⟨ ν ∣ a ^ † a ^ ∣ ν ⟩ = ∥ a ^ ∣ ν ⟩ ∥ 2 ≥ 0 \nu=\langle \nu | \hat a^\dagger\hat a | \nu \rangle =\lVert \hat a| \nu \rangle \rVert ^2\ge0 ν = ⟨ ν ∣ a ^ † a ^ ∣ ν ⟩ = ∥ a ^ ∣ ν ⟩ ∥ 2 ≥ 0 a ^ ∣ ν ⟩ ≠ 0 \hat a| \nu \rangle \neq0 a ^ ∣ ν ⟩ = 0 ν − 1 \nu-1 ν − 1 ν \nu ν a ^ \hat a a ^ k k k a ^ k ∣ ν ⟩ \hat a^k| \nu \rangle a ^ k ∣ ν ⟩ 0 0 0 ν − k \nu-k ν − k ν \nu ν k > ν k>\nu k > ν 0 0 0 a ^ k ∣ ν ⟩ ≠ 0 \hat a^k| \nu \rangle \neq0 a ^ k ∣ ν ⟩ = 0 a ^ k + 1 ∣ ν ⟩ = 0 \hat a^{k+1}| \nu \rangle =0 a ^ k + 1 ∣ ν ⟩ = 0 a ^ k ∣ ν ⟩ \hat a^k| \nu \rangle a ^ k ∣ ν ⟩ ν − k \nu-k ν − k ∥ a ^ a ^ k ∣ ν ⟩ ∥ 2 / ∥ a ^ k ∣ ν ⟩ ∥ 2 = 0 \lVert \hat a\,\hat a^k| \nu \rangle \rVert ^2/\lVert \hat a^k| \nu \rangle \rVert ^2=0 ∥ a ^ a ^ k ∣ ν ⟩ ∥ 2 / ∥ a ^ k ∣ ν ⟩ ∥ 2 = 0 ν = k \nu=k ν = k 0 0 0 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∥ a ^ † ∣ n ⟩ ∥ 2 = ⟨ n ∣ a ^ a ^ † ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ N ^ + 1 ∣ n ⟩ = n + 1 > 0 \lVert \hat a^\dagger| n \rangle \rVert ^2=\langle n | \hat a\hat a^\dagger | n \rangle =\langle n | \hat N+1 | n \rangle =n+1>0 ∥ a ^ † ∣ n ⟩ ∥ 2 = ⟨ n ∣ a ^ a ^ † ∣ n ⟩ = ⟨ n ∣ N ^ + 1∣ n ⟩ = n + 1 > 0 n n n
(ii) 帰納法で示す。∣ n ⟩ | n \rangle ∣ n ⟩ ∥ a ^ † ∣ n ⟩ ∥ 2 = n + 1 \lVert \hat a^\dagger| n \rangle \rVert ^2=n+1 ∥ a ^ † ∣ n ⟩ ∥ 2 = n + 1 ∣ n + 1 ⟩ = a ^ † ∣ n ⟩ / n + 1 | n+1 \rangle =\hat a^\dagger| n \rangle /\sqrt{n+1} ∣ n + 1 ⟩ = a ^ † ∣ n ⟩ / n + 1 a ^ ∣ n + 1 ⟩ = a ^ a ^ † ∣ n ⟩ / n + 1 = ( N ^ + 1 ) ∣ n ⟩ / n + 1 = n + 1 ∣ n ⟩ \hat a| n+1 \rangle =\hat a\hat a^\dagger| n \rangle /\sqrt{n+1}=(\hat N+1)| n \rangle /\sqrt{n+1}=\sqrt{n+1}| n \rangle a ^ ∣ n + 1 ⟩ = a ^ a ^ † ∣ n ⟩ / n + 1 = ( N ^ + 1 ) ∣ n ⟩ / n + 1 = n + 1 ∣ n ⟩ n n n N ^ \hat N N ^
(iii) ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩} (2.4.5) により a ^ \hat a a ^ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ ∣ 0 ′ ⟩ = 0 \hat a| 0' \rangle =0 a ^ ∣ 0 ′ ⟩ = 0 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ 0 ′ ⟩ | 0' \rangle ∣ 0 ′ ⟩ ∣ 0 ′ ⟩ | 0' \rangle ∣ 0 ′ ⟩ ∣ 0 ′ ⟩ | 0' \rangle ∣ 0 ′ ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩} ⟨ n ∣ m ′ ⟩ \langle n | m' \rangle ⟨ n ∣ m ′ ⟩ ⟨ 0 ∣ 0 ′ ⟩ \langle 0 | 0' \rangle ⟨ 0∣ 0 ′ ⟩
定理の (iii) は、既約な表現が本質的に1つしかないことを言っている。これは1自由度の Stone–von Neumann の定理の、梯子の言葉での姿である。Weyl 形式で述べた一般の定理と、無限自由度で一意性が崩れることは第2部第6章 と第8部（第8部第3章 ）で扱う。
図 2.4.1 調和振動子の梯子。上り a ^ † \hat a^\dagger a ^ † a ^ \hat a a ^ ℏ ω \hbar\omega ℏ ω n + 1 \sqrt{n+1} n + 1 ∥ a ^ ∣ 0 ⟩ ∥ 2 = 0 \lVert \hat a| 0 \rangle \rVert ^2=0 ∥ a ^ ∣0 ⟩ ∥ 2 = 0 ℏ ω / 2 \hbar\omega/2 ℏ ω /2
行列要素と熱平衡
(2.4.3) を逆に解くと x ^ = ℏ / ( 2 m ω ) ( a ^ + a ^ † ) \hat x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}\,(\hat a+\hat a^\dagger) x ^ = ℏ/ ( 2 mω ) ( a ^ + a ^ † ) p ^ = i m ℏ ω / 2 ( a ^ † − a ^ ) \hat p=\mathrm{i}\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger-\hat a) p ^ = i m ℏ ω /2 ( a ^ † − a ^ ) (2.4.5) から
x n + 1 , n = ⟨ n + 1 ∣ x ^ ∣ n ⟩ = ( n + 1 ) ℏ 2 m ω , p n + 1 , n = i m ω x n + 1 , n (2.4.7) x_{n+1,n}=\langle n+1 | \hat x | n \rangle =\sqrt{\frac{(n+1)\hbar}{2m\omega}},\qquad p_{n+1,n}=\mathrm{i} m\omega\,x_{n+1,n}\tag{2.4.7} x n + 1 , n = ⟨ n + 1∣ x ^ ∣ n ⟩ = 2 mω ( n + 1 ) ℏ , p n + 1 , n = i mω x n + 1 , n ( 2.4.7 )
で、ほかの行列要素は 0 0 0 第2部第1章 で総和則の漸化式から出した振幅と、位相の選び方まで一致する。
熱平衡の分配関数は、基底 { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩} x = β ℏ ω x=\beta\hbar\omega x = β ℏ ω
Z = Tr e − β H ^ = ∑ n = 0 ∞ e − x ( n + 1 / 2 ) = e − x / 2 1 − e − x = 1 2 sinh ( β ℏ ω / 2 ) (2.4.8) Z=\operatorname{Tr}\mathrm{e}^{-\beta\hat H}=\sum_{n=0}^\infty\mathrm{e}^{-x(n+1/2)}=\frac{\mathrm{e}^{-x/2}}{1-\mathrm{e}^{-x}}=\frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}\tag{2.4.8} Z = Tr e − β H ^ = n = 0 ∑ ∞ e − x ( n + 1/2 ) = 1 − e − x e − x /2 = 2 sinh ( β ℏ ω /2 ) 1 ( 2.4.8 )
である。平均の量子数は H ^ = ℏ ω ( N ^ + 1 2 ) \hat H=\hbar\omega(\hat N+\frac12) H ^ = ℏ ω ( N ^ + 2 1 ) ⟨ N ^ ⟩ = − 1 ℏ ω ∂ ln Z ∂ β − 1 2 = 1 2 coth x 2 − 1 2 \langle \hat N \rangle =-\frac{1}{\hbar\omega}\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}-\frac12=\frac12\coth\frac{x}{2}-\frac12 ⟨ N ^ ⟩ = − ℏ ω 1 ∂ β ∂ l n Z − 2 1 = 2 1 coth 2 x − 2 1
⟨ N ^ ⟩ = 1 e β ℏ ω − 1 (2.4.9) \langle \hat N \rangle =\frac{1}{\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1}\tag{2.4.9} ⟨ N ^ ⟩ = e β ℏ ω − 1 1 ( 2.4.9 )
となる。共通例題①の3つの答え（E n E_n E n Z Z Z ⟨ n ⟩ \langle n \rangle ⟨ n ⟩ Z Z Z ⟨ n ⟩ \langle n \rangle ⟨ n ⟩ ρ ^ = e − β H ^ / Z \hat\rho=\mathrm{e}^{-\beta\hat H}/Z ρ ^ = e − β H ^ / Z 第4部第4章 の仕事である。
第1章の解き方との比較
第2部第1章 の解き方と、この節の解き方を並べる。
表 2.4.1 共通例題①の2つの解き方。総和則と交換関係が同じ内容であること（第1章の定理 Born–Jordan）を通じて、2つは同じ骨組みを持つ。 第2部第1章（Heisenberg 1925 の道） この章（a ^ \hat a a ^ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † 等間隔を出す式 運動方程式 x ¨ = − ω 2 x \ddot{\mathbf x}=-\omega^2\mathbf x x ¨ = − ω 2 x ( ω n m 2 − ω 2 ) x n m = 0 (\omega_{nm}^2-\omega^2)x_{nm}=0 ( ω nm 2 − ω 2 ) x nm = 0 梯子の補題 [ N ^ , a ^ ] = − a ^ \left[\hat N,\,\hat a\right]=-\hat a [ N ^ , a ^ ] = − a ^ ℏ \hbar ℏ 総和則 ∑ k ω k n ∣ x k n ∣ 2 = ℏ / ( 2 m ) \sum_k\omega_{kn}\lvert x_{kn}\rvert ^2=\hbar/(2m) ∑ k ω k n ∣ x k n ∣ 2 = ℏ/ ( 2 m ) 交換関係 [ a ^ , a ^ † ] = 1 \left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right]=1 [ a ^ , a ^ † ] = 1 [ x ^ , p ^ ] = i ℏ \left[\hat x,\,\hat p\right]=\mathrm{i}\hbar [ x ^ , p ^ ] = i ℏ 止まる位置 H n n ≥ 0 H_{nn}\ge0 H nn ≥ 0 x 0 , − 1 = 0 x_{0,-1}=0 x 0 , − 1 = 0 正値性 ∥ a ^ ∣ ν ⟩ ∥ 2 = ν ≥ 0 \lVert \hat a| \nu \rangle \rVert ^2=\nu\ge0 ∥ a ^ ∣ ν ⟩ ∥ 2 = ν ≥ 0 a ^ ∣ 0 ⟩ = 0 \hat a| 0 \rangle =0 a ^ ∣0 ⟩ = 0 零点 1 2 ℏ ω \frac12\hbar\omega 2 1 ℏ ω 総和則の漸化式の初項 x ^ 2 \hat x^2 x ^ 2 p ^ 2 \hat p^2 p ^ 2 1 2 [ a ^ , a ^ † ] \frac12\left[\hat a,\,\hat a^\dagger\right] 2 1 [ a ^ , a ^ † ] 得られるもの 振幅 ∣ x n + 1 , n ∣ \lvert x_{n+1,n}\rvert ∣ x n + 1 , n ∣ E n E_n E n E n E_n E n
第1章の解き方は、遷移の表の要素 x n m x_{nm} x nm 0 0 0 (2.4.5) から一度に出る。その代わり、(2.4.4) の因数分解を思いつく必要があり、これはハミルトニアンが x ^ \hat x x ^ p ^ \hat p p ^
例題 2.4.2 熱平衡の振動子のゆらぎ ★★
オリジナル 角振動数 ω \omega ω T T T
(1) ⟨ x ^ 2 ⟩ = ℏ 2 m ω coth β ℏ ω 2 \langle \hat x^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac{\beta\hbar\omega}{2} ⟨ x ^ 2 ⟩ = 2 mω ℏ coth 2 β ℏ ω a ^ \hat a a ^ a ^ † \hat a^\dagger a ^ † (2) ℏ ω ≪ k B T \hbar\omega\ll k_{\mathrm B} T ℏ ω ≪ k B T ℏ ω ≫ k B T \hbar\omega\gg k_{\mathrm B} T ℏ ω ≫ k B T (3) ℏ ω = 0.10 e V \hbar\omega=0.10\,\mathrm{eV} ℏ ω = 0.10 eV T = 300 K T=300\,\mathrm K T = 300 K β ℏ ω \beta\hbar\omega β ℏ ω ⟨ N ^ ⟩ \langle \hat N \rangle ⟨ N ^ ⟩ Z Z Z ⟨ x ^ 2 ⟩ \langle \hat x^2 \rangle ⟨ x ^ 2 ⟩
解答 (1) x ^ 2 = ℏ 2 m ω ( a ^ 2 + a ^ † 2 + a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ) = ℏ 2 m ω ( a ^ 2 + a ^ † 2 + 2 N ^ + 1 ) \hat x^2=\frac{\hbar}{2m\omega}(\hat a^2+\hat a^{\dagger2}+\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a)=\frac{\hbar}{2m\omega}(\hat a^2+\hat a^{\dagger2}+2\hat N+1) x ^ 2 = 2 mω ℏ ( a ^ 2 + a ^ † 2 + a ^ a ^ † + a ^ † a ^ ) = 2 mω ℏ ( a ^ 2 + a ^ † 2 + 2 N ^ + 1 ) ρ ^ ∝ e − β H ^ \hat\rho\propto\mathrm{e}^{-\beta\hat H} ρ ^ ∝ e − β H ^ { ∣ n ⟩ } \{| n \rangle \} { ∣ n ⟩} a ^ 2 \hat a^2 a ^ 2 a ^ † 2 \hat a^{\dagger2} a ^ † 2 n n n 0 0 0 ⟨ x ^ 2 ⟩ = ℏ 2 m ω ( 2 ⟨ N ^ ⟩ + 1 ) = ℏ 2 m ω e x + 1 e x − 1 = ℏ 2 m ω coth x 2 \langle \hat x^2 \rangle =\frac{\hbar}{2m\omega}(2\langle \hat N \rangle +1)=\frac{\hbar}{2m\omega}\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-1}=\frac{\hbar}{2m\omega}\coth\frac x2 ⟨ x ^ 2 ⟩ = 2 mω ℏ ( 2 ⟨ N ^ ⟩ + 1 ) = 2 mω ℏ e x − 1 e x + 1 = 2 mω ℏ coth 2 x x = β ℏ ω x=\beta\hbar\omega x = β ℏ ω
(2) x ≪ 1 x\ll1 x ≪ 1 coth ( x / 2 ) ≈ 2 / x \coth(x/2)\approx2/x coth ( x /2 ) ≈ 2/ x ⟨ x ^ 2 ⟩ ≈ k B T / ( m ω 2 ) \langle \hat x^2 \rangle \approx k_{\mathrm B} T/(m\omega^2) ⟨ x ^ 2 ⟩ ≈ k B T / ( m ω 2 ) 1 2 m ω 2 ⟨ x 2 ⟩ = 1 2 k B T \frac12m\omega^2\langle x^2 \rangle =\frac12 k_{\mathrm B} T 2 1 m ω 2 ⟨ x 2 ⟩ = 2 1 k B T x ≫ 1 x\gg1 x ≫ 1 coth → 1 \coth\to1 coth → 1 ⟨ x ^ 2 ⟩ → ℏ / ( 2 m ω ) \langle \hat x^2 \rangle \to\hbar/(2m\omega) ⟨ x ^ 2 ⟩ → ℏ/ ( 2 mω )
(3) k B T = 0.025852 e V k_{\mathrm B} T=0.025852\,\mathrm{eV} k B T = 0.025852 eV x = 3.868 x=3.868 x = 3.868 ⟨ N ^ ⟩ = 1 / ( e 3.868 − 1 ) = 0.0213 \langle \hat N \rangle =1/(\mathrm{e}^{3.868}-1)=0.0213 ⟨ N ^ ⟩ = 1/ ( e 3.868 − 1 ) = 0.0213 Z = 1 / ( 2 sinh 1.934 ) = 0.148 Z=1/(2\sinh1.934)=0.148 Z = 1/ ( 2 sinh 1.934 ) = 0.148 coth ( x / 2 ) = 1.043 \coth(x/2)=1.043 coth ( x /2 ) = 1.043
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
